Trazado de curvas: Funciones crecientes y decrecientes.

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1 Trazado de curvas: Funciones crecientes y decrecientes.
Unidad 2: La derivada Trazado de curvas: Funciones crecientes y decrecientes.

2 ¡Interrogante! Si el ingreso por ventas en una empresa viene dado por la expresión: donde t es el tiempo para los próximos seis meses. Sin trazar la gráfica de esta función, ¿Podemos determinar en qué intervalos de tiempo las ventas serán decrecientes?

3 Observe el comportamiento de las siguientes curvas:
y y=f (x) y y=g (x) y x x Una función f es creciente en un intervalo I, si para todo x1 < x2 en el intervalo I, entonces f (x1) < f (x2) Una función g es decreciente en un intervalo I, si para todo x1 < x2 en el intervalo I, entonces g (x1) > g (x2)

4 Criterios para funciones monótonas (crecientes y decrecientes)
x y=f (x) ] [ a b y x y=g (x) ] [ a b y Sea f diferenciable en el intervalo ]a; b[: Si f ´(x) > 0 para todo x en ]a; b[, entonces f es creciente en ]a; b[. Si f ´(x) < 0 para todo x en ]a; b[, entonces f es decreciente en ]a; b[.

5 Extremos relativos de una función:
y

6 Extremos relativos de una función:
Se denomina valor extremo de una función f a un valor máximo o un valor mínimo de la misma. x y c f (c) a b Una función f tiene un máximo relativo en x = c, si existe un intervalo ]a; b[ que contenga a c sobre el cual f (c) > f (x) para todo x en el intervalo. El máximo relativo es f (c).

7 Extremos relativos de una función:
y c f (c) a b Una función f tiene un mínimo relativo en x = c, si existe un intervalo ]a; b[ que contenga a c, si f (c) < f (x) para todo x en el intervalo. El mínimo relativo es f (c).

8 Condición necesaria para extremos relativos
Si f tiene un extremo relativo en c, entonces f ´(c) = 0 o bien f ´(c) no existe. x y

9 Valor crítico: Punto crítico:
Un número c del dominio de f tal que f es continua en c se denomina valor crítico de f si f ´(c) = 0 o f ´(c) no está definida. Punto crítico: Si c es un valor crítico, entonces el punto (c; f (c)) se denomina punto crítico.

10 Criterio de la 1ra derivada para extremos relativos
Sea “c” un valor crítico para f (x). El punto crítico correspondiente (c; f (c)) es: Un máximo relativo si f (x) > 0 a la izquierda de “c” y f (x) < 0 a la derecha de “c” Un mínimo relativo si f (x) < 0 a la izquierda de “c” y f (x) > 0 a la derecha de “c”

11 x y c Para una función continua y derivable en x = c, si f (c) es un extremo relativo entonces: f ´(c) = 0. Lo contrario no sucede. x y c Es decir, en x = c, si f ´(c) = 0, no necesariamente f (c) es un extremo relativo pues se puede presentar el punto de silla.

12 Valores críticos, extremos relativos y puntos silla
f ´>0 f ´<0 f ´<0 f ´<0 f ´>0 f ´>0 f ´<0