Integración Numérica Cálculo Numérico Práctica 2

Integración Numérica n Integral simple u Método de Simpson adaptativo u Cuadratura de Gauss n Integral doble u Recinto rectangular u Recinto limitado por funciones

Regla de Simpson n Simple n Compuesta n Error

Método de Simpson adaptativo Simpson [a, b] c=(a+b)/2 Simpson [a, c] Simpson [c, b] I=I 1 +I 2 a c b

bac Parábola Función Simpson simple

Parábola Función Parábola adceb Simpson compuesta (2 int.)

Algoritmo de Simpson adaptativo n Entrada: f,a, b, tol, nivel n Proceso: u Calcular la estimación inicial de I 0 por Simpson simple en [a,b] u Multiplicar tol por 10 (suficiente para la precisión deseada) u Refinar recursivamente la integral n Salida: I: Estimación de la integral

Refinamiento recursivo: (RR) n Entrada: f,a, b,tol, nivel, I 0 n Proceso Si nivel = 0, devuelve I 0 (nivel excedido) Si no Evalúa I 1 en [a,c] e I 2 en [c,b] Si abs(I 0  I 1  I 2 ) > tol I = RR(f, a, c, tol/2, nivel-1, I 1 ) + RR(f, c, b, tol/2, nivel-1, I 2 ) I= I 1 + I 2 RR(f, c, b, tol/2, nivel-1, I 2 ) I= I 1 + I 2

Cuadratura adaptativa con MATLAB n f.m u y = 100*sin(10./ x)./ x.^2 quad(' f ', 1, 3, 1e  3, 1) quad(' f ', 1, 3, 1e  3, 1) u Simpson adaptativo n quad8 u Newton-Cotes con 8 paneles

Cuadratura de Gauss n Integral n Fórmula aproximada n Nodos:x 1, x 2,..., x n, ceros del n-ésimo polinomio ortogonal p n (t) n Coeficientes

Cuadratura de Gauss-Legendre n Integral n Polinomios de Legendre u p 0 (x) = 1 u p 1 (x) = x  p 2 (x) = (3x 2  1) / 2...  p k+1 (x) = [(2k+1) x p k (x)  k p k  1 (x)] / (k+1)

Algoritmo iterativo de los Polinomios de Legendre n Entrada: n: grado del polinomio Proceso r = 1;% Grado 0 (p 0 =1) q = [1 0]; % Grado 1 (p 1 =x) para k=1,2, …, n  1% Grado k+1 p = ((2*k+1)*[q 0]  k*[0 0 r])/(k+1) r = q; q = p; fin Proceso r = 1;% Grado 0 (p 0 =1) q = [1 0]; % Grado 1 (p 1 =x) para k=1,2, …, n  1% Grado k+1 p = ((2*k+1)*[q 0]  k*[0 0 r])/(k+1) r = q; q = p; fin n Salida: p: vector de coeficientes de p n

Cuadratura de Gauss-Legendre n Coeficientes

Cálculo de los nodos y coeficientes de Gauss-Legendre n Entrada: p: n-ésimo polinomio de Legendre n Proceso u Cálculo de los nodos nodos = roots(p)  Cálculo de los coeficientes dp = polyder(p, 1); y = polyval(dp, nodos); coeficientes = 2./(1  nodos.^2)./ y.^2; n Salida: nodos, coeficientes

Gauss-Legendre en [a, b] n Cambio de variable n Fórmula de Gauss en [a,b]

Algoritmo de Gauss-Legendre n Entrada: f, a, b, n n Proceso: u Obtener los nodos y coeficientes de la fórmula de Gauss-Legendre de orden n. u Escalar los nodos en el intervalo [a, b] n Salida:  I = (b  a) / 2 * sum(coeficientes.* f(nodos))

Ejemplo: Gauss-Legendre Resultados

Integral doble en un rectángulo Aproximación de la integral exterior Aproximación de las integrales interiores Aproximación de la integral doble

Simpson doble en un rectángulo n Entradas: f, a, b, c, d, m, n n Proceso  h = (b  a) / (2*m), k = (d  c) / (2*n) u x = a : h : b,y = c : k : d% Nodos ejes u p = h/3*[ … 4 1] 2m+1 % Pesos eje X u q = k/3*[ … 4 1] 2n+1 % Pesos eje Y u [X,Y] = meshgrid(x, y)% Matrices de coordenadas de los nodos (2n+1)  (2m+1) u Z = feval(f, X, Y) % f en los nodos n Salida: I = q*Z*p'

Ejemplo: Simpson doble en un rectángulo Resultados

Simpson doble en recintos limitados por funciones n Integrales iteradas n Aproximar la integral exterior por Simpson en el intervalo [a, b] n Para cada x i, aproximar la integral interior por Simpson en el intervalo [c(x i ), d(x i )]

Simpson doble en un recinto limitado por funciones n Aproximación de la integral exterior

Simpson doble en un recinto limitado por funciones n Aproximación de las integrales interiores n Integral doble

Simpson doble en un recinto limitado por funciones n Entradas: f, a, b, c, d, m, n n Proceso (nodos integral exterior)  h = (b  a) / (2*m) u x = a : h : b% Nodos eje X u p = [ … 4 1] 2m+1 % Pesos eje X u uno = ones(2*n+1, 1) u X = uno*x% Matriz de abscisas de los nodos Funciones.m

Simpson doble en un recinto limitado por funciones n Proceso (nodos integrales interiores) u cx = feval(c, x);% Vector extremos infs.. u dx = feval(d, x);% Vector extremos sups.  kx=(dx  cx)./ (2*n)% Vector de pasos u Y=uno*cx+(0 : 2*n)'*kx% Matriz de ordenadas de los nodos u q = [ … 4 1] 2n+1 % Pesos eje Y u Z = feval(f, X, Y) % f en los nodos n Salida: I = q*Z*(p.*kx)’ *h / 9

Ejemplo n Resultados Nodos

F I N