Valeria Flores De La Luz Walberth Hernández Ramírez

Presentación del tema: "Valeria Flores De La Luz Walberth Hernández Ramírez"— Transcripción de la presentación:

1 Valeria Flores De La Luz Walberth Hernández Ramírez
Polinomio de Legendre Valeria Flores De La Luz Walberth Hernández Ramírez

2 Resumen Es uno de los ejemplos más importantes de los Polinomios Ortogonales. Aparecen como soluciones en varios problemas clásicos como: Aplicaciones matemáticas Propagación de ondas Reconocimiento de patrones Reconstrucción de señales digitales Las soluciones de los polinomios de Legendre son ortogonales en el intervalo [-1, 1]. Tiene la característica de que Pn(1) = 1

3 donde λ=n(n+1) y n=grado del polinomio
Los polinomios de Legendre surgen como alternativa para solucionar la ecuación diferencial de Legendre, que en su forma canónica se define como: (1-x2)y’’ – 2xy’ + λy = 0 donde λ=n(n+1) y n=grado del polinomio Cuya solución general es la combinación lineal de dos soluciones literalmente independientes: y(x) = Ay1(x)+By2(x) Toma la forma de y(x) = APn(x) + BQn(x)

4 Los primeros 6 polinomios de Legendre Pn(x) están representados como:

5 Computacionalmente existen varios métodos para implementar los polinomios de Legendre

6 P0(x) = 1 Para calcular el polinomio cuando n=0 se resuelve la siguiente integral = =1

7 P1(x) = x P1(x) = (x-B) P0(x) Donde 𝐵1= −1 1 𝑥 𝑑𝑥 −1 1 𝑑𝑥 =0

8 Para n>=2

9 Algoritmo ENTRADA grado n y x Salida: El valor del polinomio de grado n, evaluado en x p0=1; p1=x; Si n = 0 return p0; Si n=1 return p1; Para k=1 hasta n pn = (((2*k+1)*x*p1) –(k*p0))/(k+1); p0=p1; p1= pn; Fin_para Imprime pn

10 Resultados

11 Interpolación de Legendre
𝑦 𝑛 𝑥 = 𝑖=0 𝑛 𝑥 𝑖 𝑃 𝑛 (𝑥) 𝒚 𝒏 𝒙 = 𝒙 𝒐 𝑷 𝒐 𝒙 + 𝒙 𝟏 𝑷 𝟏 𝒙 𝒙 𝒏 𝑷 𝒏 𝒙 Ejemplo : 𝑥 0 = 𝑥 1 = 𝑥 2 =0.43 𝑦 3 𝑥 = 𝑥 +0.43( 3𝑥 2 −1 2 ) 𝑦 𝑛 𝑥 = 𝑥+ 0.64𝑥 2 −0.21