Cálculo II Profesor Ing. Gustavo Rocha Área entre dos Curvas Por Alan Reyes Vilchis Grupo 9 Abril 2005 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas

La Integral como Área Una aplicación muy importante de la integral definida lo constituye el encontrar el área de la región comprendida entre dos curvas. Como se recordará, si f(x) es continua en el intervalo [a,b],entonces: representa, geométricamente, el área de la región comprendida entre la curva f(x) y el eje X, desde x=a hasta x=b.

La Integral como Área Análogamente, si g(x) es continua en el mismo intervalo [a,b],entonces: representa, geométricamente, el área de la región comprendida entre la curva g(x) y el eje X, desde x=a hasta x=b.

Área entre dos Curvas Por lo tanto, el Área entre las Curvas f(x) y g(x) estará dada por: Y por propiedades de la Integral: Esta es la forma general del Área entre dos Curvas, donde f(x)>g(x) en todo el intervalo.

Casos Específicos Área entre Dos Curvas Debido a que se busca calcular el área entre las curvas y NO la integral como tal, pueden surgir casos en los que se tenga que hacer más desarrollo para lograr ajustar las curvas a la forma general. A continuación se presentan algunos ejemplos de estos casos.

Ejemplo 1 Encontrar el Área comprendida entre la curva f(x)=x 2 y las rectas f(x)=0, x=0 y x=2

Ejemplo 1 Por lo tanto el Área comprendida entre la curva f(x)=x 2 y las rectas f(x)=0, x=0 y x=2 es de 8/3 u 2 En este caso, tenemos dos curvas, una Constante y la otra creciente y positiva. Por lo tanto se utilizará la forma: En donde f(x)=x 2 y g(x)=0, y los límites de la integral son a=0 y b=2.

Ejemplo 2 Encontrar el Área comprendida entre la parábola f(y)=9-y 2 y la recta g(y)=y+3

Ejemplo 2 En este caso tenemos dos curvas que se intersectan; el área a calcular es el área encerrada entre ambas gráficas. Para poder aplicar la forma general, es necesario conocer los límites de integración. Al analizar la figura podemos darnos cuenta de que estos límites están dados por los puntos en los que se Intersecan las dos gráficas. Igualando f(y) con g(y) Tenemos entonces que los puntos de intersección y límites de nuestra integral están en y=2 y y=-3

Ejemplo 2 Gráficamente es evidente que la f(y) es mayor que g(y), sin embargo, se puede comprobar fácilmente tomando un número que se encuentre entre nuestros límites y evaluando las funciones. La función que arroje un valor mayor será, entonces, mayor Evaluando para y=0: Como f(y)>g(y), la forma general quedará así:

Ejemplo 2 Resolviendo la Integral tenemos:

Ejemplo 3 Hallar el área comprendida entre las parábolas f(x) y g(x)

Ejemplo 3 A pesar de tener un “Área negativa”, este ejemplo se resuelve exactamente igual que el anterior. Esto se puede explicar si se analiza la gráfica: El área azul corresponde a f(x) El área roja corresponde a g(x) El área púrpura corresponde tanto a f(x) como a g(x) Gráficamente, al efectuar la resta de f(x)-g(x) observamos que el área púrpura desaparece, pero ¿y el área roja? Pues si analizamos, esa área es un “area negativa” por lo tanto llegamos a una diferencia del tipo: Y, como se puede observar, el área entre las curvas es la suma del área azul más el área roja.

Ejemplo 3 Ahora procederemos a resolver:

Ejemplo 4 Por último: Obtener el área entre las curvas f(x) y g(x)

Ejemplo 4 De la gráfica podemos observar que esta figura también tiene un área positiva y una negativa. En una problema como éste no se puede aplicar directamente la forma general, porque hay un “Área Positiva” y un “Área Negativa” que (según se ve a simple vista) son iguales. Si intentáramos resolverlo de la manera que lo hemos hecho, obtendríamos que la Integral de f(x)=0 y la Integral de g(x)=0 entonces, ¿el área es cero? ¡Claro que no! Tan solo por la gráfica podemos ver claramente un área diferente de cero. Al principio del tema, vimos que para poder usar la forma general se debe cumplir que f(x)>g(x) en todo el intervalo, pero en este ejemplo podemos ver gráficamente que, de 0 a 2, f(x)>g(x); pero de 2 a 4, g(x)>f(x). Entonces, ¿no se puede calcular el área?...si…si se puede calcular.

Ejemplo 4 Problemas como este se resuelven “dividiendo” el problema. Si separamos el problema en dos sub-intervalosde 0 a 2 y de 2 a 4, en cada caso una sola función predominará sobre la otra. 0, 2 y 4 corresponden a valores de X donde f(x) y g(x) se intersecan. Así que, obtengamos analíticamente los puntos de intersección: A partir de estos valores, evaluamos en un punto entre cada sub-intervalo para identificar que función es mayor en cada subintervalo.

Ejemplo 4 Hemos obtenido dos sub-intervalos. Ahora aplicaremos la regla general a cada sub-intervalo de manera que:

Para terminar… Una recomendación al trabajar con área entre curvas: Recuerda que esta es una aplicación geométrica, por lo tanto se puede representar fácilmente con una gráfica. Lo mejor es que antes de empezar a trabajar con los números, dibujar un esbozo de la gráfica, te ayudará a predecir lo que pasará.

Área entre dos curvas. Por Alan Reyes Vilchis Proyecto para la Clase de Calculo II del Profesor Gustavo Rocha Beltrán, Grupo 9. Abril de 2005 Graficas y problemas obtenidos de: 4.4 Área de la región comprendida entre dos curvas. Imagen de Fondo “Coldengy” generada en Terragen © Terragen