1 MATEMATICAS I ITESM-Preparatoria Esmeralda Prof. Q.F.B. Mary Luz Noguera Números

Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I 2 Todos ellos surgieron, estrictamente hablando, por la necesidad del hombre mismo de resolver problemas aritméticos (que tienen que ver con los números), que bien pueden verse como problemas algebraicos.  Los griegos usaron un sistema de numeración decimal (contaban de diez en diez). Para cada número asignaron un número. El número 1 estaba representado por I, el cinco por V, el diez por X, 50 por L, 100 por C, 500 por D y al 1000 por M.  Los mayas, a diferencia de los griegos, usaron un sistema vigesimal, ellos contaban de veinte en veinte (diez en las manos y otros diez en los pies). Los aztecas, el número veinte se decía Tzontle (en Nahuatl)

Números naturales 3 Podemos empezar diciendo que los números naturales tienen su nombre gracias al hecho de que el hombre, de manera intuitiva tuvo desde el principio de su historia, la noción de cantidad. Definición: Se define al conjunto de los números naturales como todos aquellos números que usamos para contar. De manera natural, el hombre los acogió para poder tener control sobre las cosas que posea. Nótese que el cero queda excluido de este conjunto, puesto que cuando un hombre no posee ningún objeto, no siente la necesidad de contar. Por tanto, los números naturales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... donde los puntos suspensivos indican que la lista sigue infinitamente.

Números enteros Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I 4 Considere ahora la pregunta: ¿Qué número debemos sumar al número 7 para obtener 2? Evidentemente la respuesta a esta pregunta no es un número natural, porque cuando sumamos dos números naturales la suma es siempre mayor a cualquiera de los sumandos.

Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I 5 ¿De dónde vino el signo negativo? Al parecer fue de la necesidad de resolver preguntas como la mencionada anteriormente. Parece ser mas claro el concepto si colocamos los números enteros sobre una línea recta, a la cual llamaremos recta numérica

Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I 6 Por ejemplo, el numero -2 es un numero entero, pero no es numero natural. Esto es similar a decir que todos los gatos son animales, pero no todos los animales son gatos. ¿Tiene sentido? La lista de los números enteros es infinita tanto a la derecha como a la izquierda del origen. De aquí se deduce que el conjunto de los números naturales esta incluido en el conjunto de los números enteros. Sin embargo lo opuesto no es cierto. Es decir, no todos los números enteros son números naturales.

Números racionales Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I 7 Un problema mas formal será el de encontrar un numero tal que al ser multiplicado por un numero entero (digamos, el numero 2) resulte el numero 1. La respuesta a esta incógnita se obtuvo gracias a la creación de otro tipo de números que, en este capítulo vamos a estudiar. Los números racionales surgieron, como todos los demás tipos de números de la necesidad de los hombres de responder a preguntas de tipo aritmético- algebraico y resolver problemas conforme iban surgiendo. La primer idea que se viene a la mente sobre el origen de estos problemas es la repartición de un terreno entre varias personas.

Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I 8 Aquí es importante reconocer que es necesario conocer cada una de las palabras involucradas en la definición para poder entenderlas. Cociente es el resultado que se obtiene al hacer una división. Entonces, los números enteros son aquellos que se pueden poner como una fracción. En notación de conjuntos, la definición se escribe como sigue: Al número p lo llamaremos numerador y al número q denominador. Si observa, encontrara una diferencia entre la definición dada en palabras y la definición que se dio en notación de conjuntos. La diferencia es que en la segunda definición no se permite al denominador de la fracción ser igual a cero.

Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I 9 Algo importante que no se debe pasar sin mencionar es que los números enteros, por poder ser expresados en forma de una fracción, donde tanto el numerador como el denominador sean números enteros, quedan incluidos en los números racionales. Así, el número entero 1, por ejemplo, puede expresarse como 1/1, el numero 2 como 4/2, etc. Nótese también que, como en el caso de los números naturales con respecto a los números enteros, los números enteros, son todos números racionales, pero no todos los números racionales resultan ser números enteros. Por ejemplo, el numero 1/5, no es un número entero. En notación de conjuntos esto se puede escribir como sigue: Esto indica que todos los números naturales son también racionales. Esto es evidente del hecho de que todos los números naturales pertenecen (es decir, son elementos) del conjunto de los números enteros.

Números irracionales Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I 10 En notación de conjuntos esto lo escribiremos de la siguiente manera: y se lee: el conjunto de los números irracionales esta formado por todos aquellos números que NO puedan ser expresados como el cociente de dos números enteros, y además, el denominador de ese cociente debe ser distinto de cero.

11 Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I

12 Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I

13 Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I

Números reales R R Todos los números 14 Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I Dígitos Son aquellos números que se componen de un solo numeral o símbolo. Estos números van del 0 al 9 Dígitos Son aquellos números que se componen de un solo numeral o símbolo. Estos números van del 0 al 9

Números reales Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I 15 Es el conjunto que contiene a todos los números racionales y a todos los números irracionales A partir de este diagrama podemos fácilmente darnos cuenta que todos los números naturales pertenecen al conjunto de los números enteros, es decir, todos los números naturales son también números enteros. Pero todos los números enteros son también números racionales, por lo tanto, todos los números naturales también son números racionales. Sin embargo, ningún número racional es un número irracional y viceversa. Esto nos indica que ningún número natural pertenece al conjunto de los números irracionales. Esto mismo ocurre con los números enteros. Y es que si un número es racional no puede ser irracional. Sin embargo, cuando juntamos a todos los números racionales con todos los números irracionales obtenemos el conjunto de los números reales. Es decir, todos los números que enlistamos (naturales, enteros, racionales e irracionales) son también números reales. R Q Q´ Z N

16 Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I Ejercicios Indica si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas F F V V

Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I 17 Velocidad de un coche Indica en a qué conjunto debe pertenecer el número que utilizaremos en cada caso. Evidentemente, todos pertenecen al conjunto de los números reales, así que mejor menciona otro de los conjuntos. Volumen en mililitros de un vaso Q Área de un círculo de radio 1. Q´ Peso de una bolsa de frijol con una precisión de gramos N o Q Número total de refrescos embotellados en un día en una embotelladora N Número total de hojas impresas en una fotocopiadora N Saldo de una cuenta bancaria, con una precisión de hasta centavos de peso Q Saldo de una cuenta bancaria, con precisión de miles de pesos Z Q

18 Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I