PROPIEDAD DISTRIBUTIVA PRESENTACIÓN de la propiedad. ¿Factorizar

Presentación del tema: "PROPIEDAD DISTRIBUTIVA PRESENTACIÓN de la propiedad. ¿Factorizar"— Transcripción de la presentación:

1 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA PRESENTACIÓN de la propiedad. ¿Factorizar
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA PRESENTACIÓN de la propiedad. ¿Factorizar? ¿Desarrollar? Y ALGUNAS APLICACIONES….. Reducción de términos semejantes. Suma de fracciones.

2 Consideremos el siguiente número:
Se lee: “7 por 3 más 7 por 5” Como no hay paréntesis, las multiplicaciones se realizan primero, y por último, la adición. Ese número está escrito como una suma, una suma de dos productos. (cada término es un producto) ¿Qué número es? Resulta: Es el número 56. , ¿es la única manera de escribir el número 56?

3 . Hay infinitas maneras de escribir el número 56. ¡Hay infinitas maneras de escribir cualquier número! En la última forma escrita aparecen únicamente los números 7, 3 y 5, como en Se destaca a continuación otra forma de escribir el número 56 en la que también aparecen únicamente los números 7, 3 y 5:

4 Los paréntesis indican que la adición se realiza primero, y por último se hace la multiplicación. En este caso, el número 56 está escrito como un producto, un producto en el que un factor es la suma de 3 y 5, y el otro factor es 7. y , son entonces dos de las infinitas maneras de escribir el número 56. Podemos afirmar que se verifica la siguiente igualdad: Como todas las igualdades, ésta se puede leer comenzando por el primer miembro (de izquierda a derecha), o comenzando por el segundo miembro (de derecha a izquierda) De hecho, podríamos haberla escrito al revés.

5 ►Comenzando por el primer miembro:
Analicemos el primer miembro con más profundidad: es la suma de dos productos que tienen una particularidad. ¿Cuál? Los dos productos, y , tienen el factor 7. Es decir: 7 es un factor común a los dos productos (a los dos términos) Además: 3 es el factor que multiplica al factor común en un término, y 5 es el factor que multiplica al factor común en el otro término. Podemos decir entonces que el segundo miembro de la igualdad, , es el producto del factor común 7 (del primer miembro de la igualdad), multiplicado por la suma de los factores que multiplican al factor común en cada uno de los términos (del primer miembro) suma producto factor común suma de los factores a los dos términos que multiplican al factor común ese en cada término factor común

6 ►Comenzando por el segundo miembro (que escribiré a la izquierda para leer de izquierda a derecha como se lee en español): es un producto en el que uno de los factores es 7 y el otro factor es una suma, la suma de 3 y 5. El primer miembro de la igualdad es entonces: la suma de los productos del factor 7 del segundo miembro, multiplicado por cada término del otro factor del segundo miembro (7 multiplicado por 3, y 7 multiplicado por 5) factor suma producto suma

7 No importa qué números consideremos, la igualdad con las características analizadas en el ejemplo anterior, es verdadera. Ejemplo anterior estudiado: Ejercicios: Completar y verificar: 1) 2) 3) También se puede escribir: 4) 5)

8 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: Si a representa un número cualquiera, b representa un número cualquiera y c representa un número cualquiera, entonces, la siguiente igualdad es verdadera (en cualquier conjunto numérico): ●Nota: También es válida para más de dos términos y para restas (si el conjunto numérico permite realizarlas) ●Esta propiedad nos permite en caso de ser necesario: ► Si un número está escrito en forma de suma de productos con un factor común, escribirlo en forma de producto en que uno de los factores es ese factor común y el otro factor es ………………………………………………… Es decir que nos permite FACTORIZAR. suma producto suma de los factores que multiplican factor ese al factor común en cada término común factor común

9 ►Si un número está escrito en forma de producto de un factor suma por otro factor, escribirlo como una suma de productos que se obtienen multiplicando ese otro factor por cada uno de los términos del factor suma. Es decir que nos permite DESARROLLAR. factor suma producto suma ● Observación: De acuerdo a la nota, también se verifica, por ejemplo, la siguiente igualdad, para todos los números a, b, c y d, del conjunto numérico que corresponda:

10 Ejercicios resueltos:
1) Siendo a un número real (es otra forma de decir que la letra a representa un número real, o también que ), la expresión representa también un número real. Se pide factorizar la expresión de ese real. Observamos la expresión. Vemos que es una suma. Nos preguntamos: ¿es una suma de productos? Investigamos: ● El término a, ¿es un producto? Si, porque aunque no veamos el signo de multiplicación, sabemos que ● El otro término , ¿es un producto? ¡También! Porque ● Y además observamos que ambos productos tienen un factor común. ¡Es a! ● Entonces podemos factorizar la expresión usando la propiedad distributiva. Debemos reconocer además los factores que multiplican al factor común en cada término: son 1 y 5a. Resulta: Logramos escribir un producto de factores distintos de 1. Hemos factorizado la expresión dada del real. Eligiendo un valor cualquiera del real a, se puede verificar que la igualdad es verdadera (la expresión dada y la expresión factorizada, son dos formas distintas de representar el mismo número)

11 2) Si , desarrollar la expresión .
(la expresión representa un número real) Observamos la expresión. Vemos que es un producto (está factorizada) Es un producto de tres factores: 2 , x y Podemos asociar los factores 2 y x, para obtener un producto de dos factores: 2x y El factor , es una suma (suma algebraica) Desarrollamos entonces multiplicando el factor 2x por cada término del factor suma: El factor 2x, se ve en cada término. Ya obtuvimos una expresión desarrollada del real, pero sucede que podemos calcular algunos productos de cada término: Obtenemos: Y entonces:

12 Observación: Para factorizar la expresión debemos descubrir el factor común que está oculto en los términos, buscando los factores de los términos que no se ven porque los productos se presentan ya calculados. También debemos descubrir el factor que lo multiplica en cada término (cuidado cuando es 1 o ) Ejercicio: Factorizar las siguientes expresiones: En los ejercicios 6), 7), 8) y 9), luego de factorizar, efectuar en el factor obtenido que corresponda, las sumas, restas, multiplicaciones que sean posibles (reducir ese factor)

13 ¿Cómo desarrollar si ambos factores son sumas?
Por ejemplo: La propiedad distributiva nos permite multiplicar uno de los factores, por cada término del otro factor suma. Si elegimos multiplicar , por cada término del factor , obtenemos: Cada término de la suma obtenida es un producto en el que aparece el factor suma Podemos entonces usar nuevamente la propiedad distributiva para desarrollar cada término obtenido. Resulta: Y ahora, eliminamos los paréntesis teniendo en cuenta el signo que precede: Se obtiene: O también: , cambiando los términos de orden. Descubrimos que podemos directamente multiplicar cada término de un factor por cada término del otro factor, teniendo en cuenta el signo que le precede a los términos que multiplicamos.

14 Es decir: Ejemplos: 1) 2) En los dos ejemplos, las sumas obtenidas se pueden reducir porque tienen términos semejantes. ¿Cómo se reducen términos semejantes? Lo estudiamos a continuación:

15 Reducción de términos semejantes.
Por ejemplo, los monomios , y , son semejantes porque tienen la misma parte literal, . términos Si sumamos esos monomios, esos monomios son términos , términos semejantes. Esa suma, puede escribirse así: Los términos tienen la misma parte literal y cada término es el producto de la parte literal por un coeficiente, entonces esa parte literal es un factor común a los tres términos. Por lo tanto, esa suma se puede factorizar, resultando: un monomio factor: suma de esa misma coeficientes parte literal (se puede reducir) que es el factor Se redujo a un solo término. común La parte literal es la misma. ¿Si el coeficiente fuera 0?

16 Ejercicio resuelto: Reducir la siguiente suma de monomios:
Reconocemos en la expresión monomios semejantes de tres tipos: aquellos cuya parte literal tiene exponente 2, los que tienen parte literal con exponente 1, y los términos que “no tienen parte literal”(no dependen de la variable x, no varían, son constantes, se llaman términos independientes y se puede decir que su parte literal tiene exponente 0 porque para todos los valores de x distintos de 0) Reducimos la suma de monomios semejantes de cada tipo: ● de exponente 2: si un factor es 0, el producto es 0 ● de exponente 1: ● de exponente 0: (en este caso no se factoriza, se efectúa esa suma de números que no depende de la variable x) En general, la reducción de términos semejantes de cada tipo, se realiza sin plantearla, sin escribir el proceso, sumando los coeficientes correspondientes mentalmente. Se obtiene:

17 término de término exponente independiente Si bien en la expresión original hay tres tipos de términos semejantes, se obtuvo una expresión reducida con dos términos . Esto se debe a que la suma de los coeficientes de los términos de uno de los tipos, los de exponente 2, es 0. El término 0 puede no escribirse porque hay otros términos y 0 es el neutro de la adición. La expresión reducida obtenida , NO SE PUEDE REDUCIR porque sus términos NO SON SEMEJANTES (No es posible obtener un monomio porque los términos no tienen la misma parte literal) Ejercicios: A) Reducir las siguientes expresiones: B) Desarrollar y reducir: 1) 2) 3) 4)

18 Suma de fracciones. El número representado por la fracción , que se lee “siete tercios”, es el resultado de dividir 7 entre 3. Se llama cociente de esa división. Se pueden conocer aproximaciones de ese cociente: 2,3 ; 2,33 ; 2,333 ; …… También se puede representar : 2,33... (dando a entender con esa escritura que hay infinitos 3 después de la coma) , o también: (indicando lo mismo, 3 es el período) Pero estas escrituras o representaciones del número, no permiten realizar operaciones con ese número, como por ejemplo multiplicarlo por 4, o sumarle . Para poder realizar cualquier operación con ese cociente, es inevitable representarlo usando una fracción: , , , ….. . La representación más sencilla es . Numerador Fracción Denominador ¿Cómo sumamos números representados por fracciones? Veremos primero cómo sumar fracciones de igual denominador, y por último cómo sumar fracciones de distinto denominador.

19 Suma de fracciones de igual denominador.
Si consideramos que la división es la operación inversa de la multiplicación, la propiedad distributiva permite justificar la manera de sumar fracciones de igual denominador. ► Para comprenderlo debemos recordar antes algunos conceptos: ● ¿Cuándo se dice que dos números son inversos uno del otro? Dos números son inversos cuando su producto es 1. Por ejemplo: (trabajaremos en el conjunto de los números reales) ◦ 2 y 0,5 son inversos porque Como , podemos decir que el inverso de 2 es . También podemos razonarlo así: para que un número x sea el inverso de 2, debe verificar la condición para serlo: Y despejar x. Como x se presenta multiplicada por 2, para despejarla se deberá dividir entre 2 (la división es la operación inversa de la multiplicación) Dividiendo entonces ambos miembros de la igualdad entre 2, se obtiene: Y también: Este último razonamiento se puede generalizar…. ◦ ¿Cuál es el inverso de 3? Obtenemos, razonando de la misma manera, que el inverso de 3 es Y

20 ◦ Con el número 0 encontramos un resultado interesante:
La ecuación , NO TIENE SOLUCIÓN porque el producto de 0 por cualquier número real es 0 y no 1. No existe un número que multiplicado por 0 dé como resultado 1. Por lo tanto, 0 no tiene inverso. ◦ En general, si a es un número real distinto de 0, el inverso de a es . ● Dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su inverso. Por ejemplo: Dividir a 5 entre 2, es lo mismo que multiplicar a 5 por . ▪ Es claro que , porque la división es la operación inversa de la multiplicación (al dividir entre 2 y luego multiplicar por 2, se obtiene el número original) ▪ Y por otro lado, también , porque: ▪ Si tanto como , multiplicados por 2, dan 5, entonces ambos números deben ser iguales. También: , , ……. , y generalizando: si , , y generalizando: si No existe el resultado de dividir entre 0 porque 0 no tiene inverso. . . .

21 ► Suma de fracciones de igual denominador:
Por ejemplo: Ambas fracciones tienen denominador 3 y numeradores: 7 y 4 respectivamente. Usando lo anterior: La suma buscada se expresa como suma de productos con un factor común: . Podemos entonces factorizar: Obtuvimos el producto del factor suma (suma de los numeradores) , por el factor común . Y usando nuevamente lo anterior (multiplicar por es lo mismo que dividir entre 3), resulta: Se obtuvo finalmente que: La suma de fracciones de igual denominador es una fracción con ese mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores de las fracciones.

22 Suma de fracciones de distinto denominador.
► Para sumar fracciones, ¿tiene sentido sumar los numeradores si son distintos los denominadores? Por ejemplo, para sumar y : Los factores que multiplican a 7 y a 4 en cada término, no son iguales. No hay un factor común que multiplique son distintos a 7 y a 4. No es posible factorizar esa suma de manera de obtener la suma de los numeradores. No encontramos entonces que tenga sentido considerar la suma, , de los numeradores de las fracciones que se quieren sumar. ¡Sería también absurdo considerar la suma de los denominadores! ¿Cómo sumar fracciones de distinto denominador? Esas fracciones representan números. Sucede que hay infinitas fracciones que representan cada uno de esos números, y entre ellas se encuentran fracciones que tienen el mismo denominador. Se trata entonces de encontrar fracciones con el mismo denominador, que representen los mismos números que las fracciones originales, y sumarlas.

23 ► Dada una fracción, ¿cómo se obtienen otras fracciones que representen el
mismo número que ella? Por ejemplo: ¿Cómo encontrar otras fracciones que también representen el número ? ● Previamente, observemos lo siguiente: Como el producto de y es 1, concluimos que el inverso de es . Es decir: Este es un ejemplo de una propiedad general: El inverso de un producto de números es el producto de los inversos de cada uno. ● Ya sabemos que y que por ejemplo (también ) Usando además la propiedad recuadrada, podemos deducir como se muestra en la siguiente cadena de igualdades que: Multiplicando al numerador y al denominador de una fracción por un mismo número distinto de 0, se encuentra una fracción que representa el mismo número que ella.

24 Esta igualdad permite también simplificar una
fracción si el numerador y el denominador tienen un factor común. Se destaca además que si b y k son naturales, es múltiplo de b. Comentario: Las mismas consideraciones que permitieron justificar la igualdad anterior, también permiten justificar la manera general de multiplicar fracciones: se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores. porque ► Estamos ahora en condiciones de sumar y : ◦ Buscamos fracciones con un mismo denominador que representen y , respectivamente: El denominador común debe ser múltiplo común de 3 y de 5. Conviene elegir el menor de todos. Como 3 y 5 no tienen factores comunes, el menor múltiplo común es el producto: (como multiplicamos por 5 a 3, debemos multiplicar por 5 a 7) (como multiplicamos por 3 a 5, debemos multiplicar por 3 a 7) ◦ Finalmente podemos sumar: Se acostumbra escribir directamente:

25 Otro ejemplo: ◦ Los denominadores 4 y 6, tienen un factor común: y El menor múltiplo común es Es el producto de los factores de 4 y 6, sin repetir el factor común 2. (como multiplicamos por 3 a 4, debemos multiplicar por 3 a 3) (como multiplicamos por 2 a 6, debemos multiplicar por 2 a 5) ◦ Luego de elegir el denominador común, se acostumbra escribir directamente este último planteo: Es imprescindible preguntarse entonces, por qué número se multiplicó a cada denominador, para obtener correctamente los numeradores correspondientes y sumarlos. Observación: Si x representa un número real, no es estrictamente lo que se llama una fracción porque el denominador no es natural, pero podemos usar los mismos argumentos para sumar este tipo de escrituras fraccionarias. No podemos hablar de múltiplos porque no son números naturales, pero igualmente el denominador común más conveniente será el producto de los factores de los denominadores, sin repetir los factores comunes a esos denominadores. Ejercicio: Obtener esa suma (como una sola “fracción”)