1 Los números reales Los números racionales Los números irracionales Topología de la recta real Potencias de exponencial racional Las raíces propiedades y operaciones Racionalización Aproximaciones. Error absoluto y relativo Notación científica Índice del libro

Los números reales 1. Números racionales Paso de decimal a fracción El conjunto de los números racionales, Q, está formado por todas las fracciones de la forma siendo p un número entero y n un número natural distinto de cero. Todo número decimal exacto, periódico o mixto se puede expresar como una fracción. Dado el número 2,345, la fracción tiene como expresión decimal el número dado. Dado el número , como solo hay una cifra decimal en el periodo, multiplicamos el número por 10 y le restamos el número inicial:

1 Los números reales 2. Números irracionales Observemos el siguiente número decimal: 0,101001000100001000001… Este número decimal no es exacto y en él no se puede definir un periodo. Los números irracionales tienen una expresión decimal infinita no periódica. Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales. Los números que se obtienen como solución de la ecuación exacta x2=a, donde con y no es un cuadrado perfecto, son irracionales.

1 Los números reales 3. Números reales El conjunto de los números reales está formado por el conjunto de números racionales y el de números irracionales. Este conjunto se representa con el símbolo Representación de números en la recta real El conjunto de los números reales se puede representar en una recta, la recta real. Representación de números racionales Para representar una fracción, tenemos que dividir el segmento en el que se encuentre en tantas partes como indique el denominador, utilizando el teorema de Tales, y marcar el numerador.

1 Los números reales 3. Números reales Representación de números irracionales En general, nos resultará imposible representar con exactitud un número irracional. Se suele indicar el segmento donde se encuentra. Este segmento puede ser tan pequeño como queramos, dependiendo del número de decimales que utilicemos para aproximar. Representación de números irracionales en forma de Estos números se pueden representar de forma exacta utilizando el teorema de Pitágoras. Para ello tenemos que construir un triángulo cuya hipotenusa mida la raíz buscada y transportar esta distancia a la recta con el compás.

1 Los números reales 4. Topología de la recta real Relación del orden Dados dos números reales a y b: Diremos que a es menor que b, a < b, si b – a es positivo. Diremos que a es mayor que b, a > b, si b – a es negativo. Diremos que a es menor o igual que b, a ¥ b, si a < b o a = b. Diremos que a es mayor o igual que b, a ¡ b, si a > b o a = b. Intervalos Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con un segmento o una semirrecta de la recta real.

1 Los números reales 5. Potencias de exponente racional Potencias de exponente natural Definimos a elevado a la n-ésima potencia, an, siendo n un número natural, como el producto de a por sí mismo repetido n veces:

1 Los números reales 5. Potencias de exponente racional Potencias de exponente entero Para definir potencias de exponente entero, necesitamos definir las potencias de exponente negativo. Este tipo de potencias debe cumplir las propiedades de las potencias de exponente natural; por tanto: Una potencia con exponente negativo es el inverso de esta misma potencia con exponente positivo: Potencias de exponente racional Definiremos la potencia de exponente racional an/m como la raíz m-ésima de an.

1 Los números reales 5. Potencias de exponente racional Raíces equivalentes Se dice que dos raíces son equivalentes si al expresarlas como potencia las fracciones que determinan los exponentes son equivalentes. Expresar en forma de potencia y escribir raíces equivalentes:

1 Los números reales 6. Las raíces: propiedades y operaciones Reducción de raíces a común índice Vamos a reducir las raíces a índice común. Expresamos las raíces en forma de potencia: Reducimos los exponentes a común denominador y volvemos a expresar las potencias en forma de raíz. El mcm de los denominadores es 30.

1 Los números reales 6. Las raíces: propiedades y operaciones Extracción de factores de una raíz Vamos a extraer factores de la raíz Descomponemos el radicando en factores primos: Dividimos el exponente de cada factor primo entre el índice de la raíz. El cociente es el exponente del factor primo que sale fuera de la raíz y el resto es el exponente del factor primo que queda dentro de la raíz:

1 Los números reales 6. Las raíces: propiedades y operaciones Introducción de factores en una raíz Podemos introducir un factor dentro de una raíz elevando dicho factor al índice de la raíz: Suma y resta de raíces Dos raíces son semejantes si tienen los mismos índices y radicandos. Para sumar o restar varias raíces, estas tienen que ser semejantes.

1 Los números reales 6. Las raíces: propiedades y operaciones Producto y cociente de raíces Para multiplicar o dividir dos raíces, estas tienen que tener el mismo índice. Si las raíces no tienen el mismo índice, siempre podemos reducirlo a índice común y luego operar. Potencia y raíz de una raíz

1 Los números reales 7. Racionalización Racionalizar una fracción es eliminar las raíces de su denominador. Fracciones con una raíz en el denominador Para racionalizar una fracción del tipo , multiplicamos el numerador y el denominador por y simplificamos. Fracciones con un binomio en el denominador Para racionalizar fracciones con un binomio en el denominador, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador.

1 Los números reales 8. Aproximaciones. Error absoluto y relativo Decimos que una aproximación es de orden n cuando obtenemos un número racional con n decimales. Métodos de aproximación Aproximación por defecto o truncamiento: se eliminan las cifras decimales a partir del orden considerado. Aproximación por exceso: se eliminan las cifras decimales a partir del orden considerado y se añade una unidad a la última cifra decimal. Redondeo: se eliminan todas las cifras decimales a partir del orden indicado y, si la cifra siguiente al orden considerado es mayor o igual que 5, se añade una unidad a la última cifra decimal que incluimos.

1 Los números reales 8. Aproximaciones. Error absoluto y relativo El error absoluto (Ea) de una aproximación Va de un número Vr es el valor absoluto de su diferencia: El error relativo (Er) de una aproximación Va de un número Vr es el valor del cociente del error absoluto entre Vr: Cotas para el error absoluto La cota del error absoluto indica en cuánto nos podemos equivocar como máximo al utilizar una aproximación.

1 Los números reales 9. Notación científica Para que un número esté expresado correctamente en notación científica, debe tener la siguiente forma: a,bcd… · 10n, donde n es un número entero En un número expresado en notación científica, el exponente al que está elevado el 10 es el orden de magnitud. Suma y resta en notación científica Para sumar y restar números expresados en notación científica, necesitamos que todos estén expresados con el mismo orden de magnitud. Producto y división en notación científica Para multiplicar y dividir números expresados en notación científica, simplemente tenemos que operar las potencias de 10 por un lado y el resto de la expresión por otro.