Trabajo Práctico N°1 Espacio: Taller I “Aplicaciones de las Integrales Definidas” Integrantes: Correa Romina y Aguirre Federico

Cálculo de área de un recinto limitado por una curva utilizando la suma de Riemann Bernard Riemann

Aplicación de cálculo por una región limitada por curvas Riemann a partir de : . . .

INTRODUCCIÓN ¿Quién fue Bernard Riemann?

¿QUÉ ES Y PARA QUE SIRVE LA SUMA DE RIEMANN? Conceptos principales: Es un método para aproximar la suma de las áreas, consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande. Observemos las gráficas siguientes

Gráfica 1 Gráfica 2 Comparamos las gráficas 1 y 2 ,notamos una mayor precisión en el cálculo del área bajo la curva en la gráfica 2.

Suma de Riemann Considerando una función real y=f(x) positiva y acotada, definida la misma en el intervalo cerrado [a,b]. Se llama intervalo definido de la función f(x)≥0 entre a y b (los límites de integración ), al área de la producción del plano limitada por la gráfica de la función, el eje x y las recta paralelas x=a y x=b. Comenzaremos con las definiciones de la suma superior y suma inferior de una función definida en un intervalo [a,b], asociadas a una participación del mismo. Estas sumas son aproximaciones al área que queremos calcular.

Con un ejemplo desarrollaremos la suma de Riemann. Dada la función determinar el área utilizando la suma de Riemann Función f(x)= 2-x2 en un intervalo [-1,2] Para calcular el área bajo la curva. Utilizaremos un método para aproximar el área que buscamos, para ello dividiremos al intervalo [-1,2] en subintervalos, para formar rectángulos con base igual a los subintervalos , no hace falta que sean de igual longitud y cuyas alturas son los valores de la función en los extremos derechos de esos subintervalos.

La longitud máxima del subintervalo se representa con ||P|| y se denomina norma de P. La norma de P:

Función Determinar la norma de |||P| Se divide el intervalo [-1,2] en subintervalos mediante la participación p y el conjunto de partición es Los datos son

Cálculo de área por extremo derecho:

Cálculo del área mediante la suma de Riemann Con el método de aproximación, cuanto más rectángulos tomemos nos acercamos al valor real del área bajo la curva.

Conclusión Gracias al aporte del prestigioso matemático alemán Bernard Riemann, podemos hallar el área bajo la curva de una función determinada, o diferencia de área entre la curva y el eje x en un intervalo determinado. Un método nos proporcionó un valor aproximado del área bajo la curva por defecto o por exceso y el otro método valor exacto. Cabe señalar que existen otros métodos para el cálculo del área, uno mas sencillo, es utilizando integrales definidas o integrales de Riemann.