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Representación de funciones
Límites infinitos Asíntotas Raíces Regionamiento Funciones polinómicas Funciones racionales Otras funciones Supernova. Dominio público
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Límites infinitos Las ramas infinitas de y=f(x) se determinan calculando los límites infinitos de la función. Pueden ser: En el infinito: si x∞ (el límite puede ser finito o infinito). En un punto finito: si xa (si es rama infinita, el límite debe ser infinito). Globales o laterales (por la derecha o por la izquierda). El límite de una función racional se obtiene dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia del denominador. Si (grado numerador) < (grado denominador) el límite es 0 Si (grado numerador) < (grado denominador) el límite es am/bn Si (grado numerador) > (grado denominador) el límite es ∞
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En las funciones racionales y=P(x)/Q(x), las asíntotas se obtienen:
Las asíntotas son rectas a las que se acerca una rama infinita de la función “tanto como queramos”. Pueden ser: En las funciones racionales y=P(x)/Q(x), las asíntotas se obtienen: Horizontales ( x∞ ): y = b Calculando el límite de f(x) con x∞ Verticales ( xa ): x = a Igualando a 0 el denominador (Si P(a)=Q(a)=0, hay que hacer un estudio específico) Oblicuas ( x, y ∞ ): y = mx+n (Las asíntotas oblicuas se verán en el tema 5) Dividiendo P(x) por Q(x)
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Raíces Las raíces de una función continua (o continua a trozos) nos permiten saber: Cómo corta y=f(x) al eje OX (multiplicidad impar) Cómo es la tangencia de y=f(x) a OX (multiplicidad par) 1 y 4 = raíces simples (impares corta a OX) 2=raíz doble (par no corta a OX)
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Regionamiento Se consideran los intervalos que determinan.
El regionamiento permite saber si en un intervalo una función es positiva o negativa. Es muy útil para el trazado de gráficas. Para efectuarlo: Se disponen sobre el eje OX las raíces y los valores que tienen asíntotas. Se consideran los intervalos que determinan. Se calcula la función (con el signo basta) en un punto interior de un intervalo. Teniendo en cuenta la multiplicidad correspondiente, se van sombreando las regiones adyacentes. f(0)>0 se sombrea la región inferior 1 = raíz simple cambia de signo 2 = raíz doble no cambia de signo 4 = raíz simple cambia de signo
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f(x)=0.2·(x+2)·(x+1)·x·(x-2)
Funciones polinómicas Las funciones polinómicas son las más sencillas. Son muy fáciles de trazar a partir de: Grado del polinomio. Coeficiente del término de mayor grado (si es >0 o <0). Sus raíces (con su multiplicidad). Regionamiento. f(x)=0.2·(x+2)·(x+1)·x·(x-2) (Es importante que domines el trazado aproximado de funciones polinómicas)
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Funciones racionales Las funciones racionales son cocientes de polinomios Es muy importante determinar de ellas: raíces (con su multiplicidad) Asíntotas Regionamiento (Revisar con atención cada uno de estos apartados si hiciera falta) Si un número es raíz, simultáneamente, del numerador y del denominador, no está en el dominio, por lo que no es raíz de la función. En este caso puede dar lugar a asíntota o no, se debe estudiar
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Valor absoluto y Parte entera
El valor absoluto sirve para medir distancias: d(x,y)=x-y. (En límites se usa con frecuencia el entorno de centro x0 y radio ε, que viene dado por x-x0<ε) La gráfica de la función y=f(x) se obtiene a partir de la de y=f(x): los tramos positivos se dejan tal como son, los neqativos se sustituyen por sus simétricos respecto del eje OX. E(x)=mayor entero menor que x. La gráfica de la función y=E(x) es una “escalera” con y=x como “base”. La de y=E(f(x)) es lo mismo con respecto a la de y=f(x).
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