Límite finito en el infinito Límite infinito en el infinito Notación Límites laterales Teorema Definición Explicación Límites infinitos Límite finito en el infinito Límite infinito en el infinito Regla de L’Hôpital

Notación Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que f está definida en un entorno reducido del punto a, es decir, el dominio de f contiene intervalos de la forma (a-δ, a) y (a, a+δ). Si existe un número L, tal que a medida que x se aproxima al número a, f(x) se aproxima a L, entonces L es el límite de f(x) cuando x tiende a “a”. Se escribe: Ejemplo

La función f(x) = x.sen(1/x), verifica: Al aproximarnos a cero (a=0) por puntos x distintos de cero, f(x) se aproxima a 0 (L=0) Véase con la definición de límite.

Por la definición: En nuestro caso: DEMOSTRACIÓN Se tiene que verificar que: Como se cumple que : , basta tomar para que se cumpla Por muy pequeño que sea ε siempre se puede considerar un δ menor de tal forma que si x se aproxima a 0, entonces xsen(1/x) se aproxima al límite.

Límites laterales Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que el dominio de f contiene un intervalo abierto (a, b). Si a medida que x se aproxima al número a por la derecha, es decir con a<x, f(x) se aproxima a L, entonces L es el límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a “a”. Se escribe: Ejemplo Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que el dominio de f contiene un intervalo abierto (c, a). Si a medida que x se aproxima al número a por la izquierda, es decir con x<a, f(x) se aproxima a L, entonces L es el límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a “a”. Se escribe: Ejemplo

La función f(x) = , verifica: En este caso los límites laterales no coinciden, y por lo tanto, no existe el límite de esta función cuando x tiende a 1.

Teorema Sea f una función y a un punto interior al dominio de f, entonces, existe el límite de f(x) cuando x tiende a “a” si y sólo si existen los límites laterales y son coincidentes: Si Ejemplo entonces PROPIEDAD Si existe el límite de f(x) cuando x tiende a “a”, entonces es ÚNICO

La función f(x) = , verifica: En este caso los límites laterales coinciden, y por lo tanto, existe el límite de esta función cuando x tiende a 1 y vale 2.

Definición Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que f está definida en un entorno del punto a, es decir, el dominio de f contiene intervalos de la forma (a-δ, a) y (a, a+δ). Existe un número L, tal que es el límite de f(x) cuando x tiende a “a” si: Ejemplo

Explicación: Para cada número positivo ε existe un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) cae dentro de un entorno de L de radio ε. Ejemplo

Límites infinitos Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que f está definida en un entorno (tal vez perforado) del punto a, es decir, el dominio de f contiene intervalos de la forma (a-δ, a) y (a, a+δ). El límite de f(x) cuando x tiende a “a” es infinito si: Ejemplo El límite de f(x) cuando x tiende a “a” es menos infinito si: Ejemplo

Límites infinitos Para cada número positivo M existe un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) está siempre por encima de M Ejemplo

Demostrar que: DEMOSTRACIÓN Cualquiera que sea M Para cada número positivo M existe un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) está siempre por encima de M Como se cumple que : , basta tomar para que se cumpla

Demostrar que: DEMOSTRACIÓN Para cada número negativo M existe un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) está siempre por debajo de M Cualquiera que sea M Obsérvese que M es negativo Como se cumple que : , basta tomar para que se cumpla.

Límite finito en el infinito Sea f una función cuyo dominio contiene un intervalo de la forma (a, +∞). Existe un número L, tal que es el límite de f(x) cuando x tiende a “∞” si: L+ε L L-ε Cuanto más pequeño sea ε debemos escoger un número k más grande para que la diferencia entre f(x) y L sea inferior a ε. k Ejemplo

Demostrar que: DEMOSTRACIÓN 1+ε 1-ε Existe k Cuanto más pequeño sea ε debemos escoger un número k más grande para que la diferencia entre f(x) y L sea inferior a ε. 1+ε 1-ε Existe k Como se cumple que: , basta tomar para que se cumpla

Límite infinito en el infinito Sea f una función definida para todo número mayor que algún número b. El límite de f(x) cuando x tiende a ∞ es ∞, si: M Cuanto más grande sea M debemos escoger un número k más grande para que sea inferior a f(x). k Ejemplo

Demostrar que: DEMOSTRACIÓN M Existe k Cuanto más grande sea M debemos escoger un número k más grande para que sea inferior a f(x). Existe k Como se cumple que: , basta tomar para que se cumpla

Ejemplo Ejemplo Regla de L’Hôpital Cálculo de límites mediante la Regla de L’Hôpital: Sean f, g funciones derivables en un entorno de un punto ó Si y existe , entonces existe Ejemplo y se cumple que: La regla se puede aplicar a distintas indeterminaciones: 0.∞; ∞-∞; 00; 1∞, mediante las transformaciones pertinentes pasamos a las indeterminaciones de la forma 0/0 ó bien ∞/∞ Ejemplo Si en la expresión se vuelve a presentar una indeterminación del tipo 0/0 ó ∞/∞ se puede volver a aplicar la regla (siempre y cuando se cumplan las hipótesis). .

Comprobamos las hipótesis de la Regla de L’Hôpital Ejemplo de cálculo de límites mediante la Regla de L’Hôpital: Calcular SOLUCIÓN Comprobamos las hipótesis de la Regla de L’Hôpital Entonces existe el límite de la función senx/x cuando x tiende a cero: .

Comprobamos las hipótesis de la Regla de L’Hôpital Ejemplo de cálculo de límites mediante la Regla de L’Hôpital: Calcular SOLUCIÓN INDETERMINACIÓN Aplicando logaritmos Comprobamos las hipótesis de la Regla de L’Hôpital .

Entonces existe el límite: