Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad ESQUEMA.

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1 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad ESQUEMA

2 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad R Para que sea aplicación ha de cumplir dos condiciones: Todo elemento de D ha de tener imagen. Esta imagen ha de ser única. Funciones reales: Definición Una función real de variable real es una aplicación de un conjunto D R, en el conjunto R. R 4 5,29 25 Recorrido Dominio 2 5 f(x) = x 2 f(2) = 4 f(2,3) = 5,29 f(5) = 25 2 2,3 5

3 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Superficie del rectángulo inscrito en la circunferencia 2R S = x. y x 2 + y 2 = (2R) 2 } 90º x x y x D = (0, 2R) 2R Funciones definidas por fórmula

4 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Funciones definidas por su gráfica Un cardiograma normal de un joven de 20 años

5 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad T = 4t + 20 2.5 30 Interpolación T(2.5) = 4. 2.5 + 20 = 30ºC 6.5 Extrapolación T(6.5) = 4. 6.5 + 20 = 46 46 Funciones definidas por tablas

6 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad X Y D = [-2, 2 ] f(D) = [0, 2 ] Funciones reales: Dominio y recorrido

7 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Función compuesta La función h 1 (x) = sen 2x es la composición de dos funciones: g(x) = 2x = t f(t) = sen t x 2x = t sen t = sen 2x R R g R f x sen 2x h 1 (x) = f(g(x)) = f(2x) = sen 2x g(x) = 2xf(t) = sen t Salida 2x Entrada x Entrada t= 2x Salida sen t = sen 2x h 2 (x) = f(g(x))

8 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad La composición de funciones no es conmutativa Función h 2 (x) = g(f(x)) f(x) = sen x = t g(t) = 2 t x sen x = t g(t) = 2 sen t = 2 sen x R R f R g x 2 sen x h 2 (x) = g(f(x)) = g(sen x) = 2 sen x f(x) = sen xf(t) = 2t Salida sen x Entrada x Entrada t= sen x Salida 2 t = 2 sen x h 2 (x) = g(f(x))

9 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Asíntotas verticales X=0

10 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Asíntotas horizontales

11 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad La pendiente de la asíntota oblicua y las pendientes de las tangentes a la curva tienden a coincidir para x + m = tg [f(x) – (mx + n) ] 0 para x + f(x) – (mx + n) y = mx + n Asíntotas oblicuas

12 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Continuidad. Puntos de discontinuidad (p, f(p)) p f(p) pp Una función es continua en un intervalo I = (a, b) si I está en el dominio de f y f es continua en todos los puntos del intervalo I

13 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Discontinuidad evitable } x=2 discontinuidad evitable

14 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Discontinuidad inevitable: Salto finito x=1 salto finito

15 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Gráfica de la función x + 1 si x 0 x - 1 si x >0 X Y 1 1 1 f(x) no es continua en el punto x o = 0 Continuidad en un punto IMAGEN FINAL

16 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Discontinuidad inevitable: Salto infinito x=1 salto infinito

17 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad En la medida en que x toma valores cada vez más próximos a a, ¿a quién se acerca f(x)? Límites de funciones en un punto

18 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Significado del límite infinito de una función para x a

19 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x)? En la medida en que x se hace muy grande, con valores negativos ¿a quién se acerca f(x)? Límites de funciones en el infinito

20 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Significado geométrico del límite finito de una función, para x +

21 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad 1 No hay indeterminación Cálculo de límites (I)

22 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad 1 2 Cálculo de límites (II)

23 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad 2 1 –1 Cálculo de límites (III)

24 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Sucesión aritmética Sucesión geométrica Término general: f(n) = a +(n-1).d Término general: f(n) = a.r n Sucesiones de números reales

25 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad En la medida en que n toma valores cada vez mayores, ¿a quién se acerca a n ? Límites de sucesiones

26 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad a 20 Funciones: límites y continuidad Representación de los términos de la sucesión a n = 1/n a1a1 a2a2 a3a3 a 50 a 96 IMAGEN FINAL

27 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad a 20 Funciones: límites y continuidad Representación de los términos de la sucesión a n = 2n/(n + 1) a1a1 a2a2 a3a3 a 50 a 96 IMAGEN FINAL

28 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Funciones: límites y continuidad Representación de los términos de la sucesión a n = n 2 + 1 a 20 a 50 a 90 a5a5 IMAGEN FINAL

29 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Funciones: límites y continuidad Representación de los términos de la sucesión a n = -n 2 + 1 a 20 a 50 a 90 a5a5 IMAGEN FINAL

30 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad a 10 Funciones: límites y continuidad Representación de los términos de la sucesión a n = (-1) n. n 2 a1a1 a 44 a 23 Esta sucesión no tiene límite IMAGEN FINAL

31 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad El número e

32 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad a 20 Representación de los términos de la sucesión a n = (1+1/n) n a1a1 a2a2 a3a3 a 50 a 96

33 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Límites de funciones trigonométricas

34 Matemáticas 1.º Bachillerato 9. Funciones, límites y continuidad Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones, límites y continuidad Funciones: límites y continuidad - 10 - 55 - 0.2 0.4 0.6 0.8 1 La función no está definida en 0. Pero está definida en las proximidades del punto 0 IMAGEN FINAL