FUNCIÓN IMPLÍCITA. Definición. Caso de varias ecuaciones.

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1 FUNCIÓN IMPLÍCITA. Definición. Caso de varias ecuaciones.
CLASE 21 PARTE 1: FUNCIÓN IMPLÍCITA. Definición. Caso de varias ecuaciones. Bibliografía de la Clase 21: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 3, sección 3.1, parágrafo 36. Ejercicios para las clase 21 Práctico 6 del año 2006. Cálculo Diferencial e Integral II Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

2 Sea dada una función vectorial:
en un abierto U. Sea dado un punto (a,b) en U que verifica la ecuación F(a,b) = 0. Es decir: Se considera la ecuación F(x,y) = 0, que significa un SISTEMA DE s ECUACIONES REALES con s+q variables.

3 Interesa encontrar las s variables
en función de las q variables independientes de modo que verifique el sistema de s ecuaciones reales dado. DEFINICIÓN. Se llama función implícita local en torno del punto (a,b) a tal que

4 CASO PARTICULAR Sea dada
Tenemos la ecuación: ver si existe tal que:

5 TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCAL . Enunciado.
CLASE 21 PARTE 2: TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCAL . Enunciado. Caso de varias ecuaciones. Bibliografía de la Clase 21: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 3, sección 3.1, parágrafo 36. Ejercicios para las clase 21 Práctico 6 del año 2006. Cálculo Diferencial e Integral II Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

6 TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCAL.
(Caso de un sistema de varias ecuaciones reales) HIPÓTESIS. Sea dada en un abierto U, y sea dado un punto (a,b) en U tal que 1. F es diferenciable en U En U es diferente de 0 el determinante de la matriz formada por las derivadas parciales de F respecto a

7 TESIS 1. Existe única la función inversa local y = f(x) en torno de (a,b). Es decir: 2. f es diferenciable 3. La matriz Jacobiana de f es 4. Si F es de clase entonces f también.

8 TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCAL . Demostración.
CLASE 21 PARTE 3: TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCAL . Demostración. Caso de varias ecuaciones. Bibliografía de la Clase 21: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 3, sección 3.1, parágrafo 36. Ejercicios para las clase 21 Práctico 6 del año 2006. Cálculo Diferencial e Integral II Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

9 Demostración del teorema de la función implícita local en
el caso de un sistema de varias ecuaciones. Dem. de 3) admitiendo 1) y 2)

10 Dem. de 4) admitiendo 3) Dem. de 1) y 2): Por inducción completa en s. Si s=1 es el caso de una sola ecuación visto en la clase anterior. HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN: 1) y 2) son verdaderas para s-1 ecuaciones y s-1 variables dependientes TESIS DE INDUCCIÓN: 1) y 2) son verdaderas para s ecuaciones y s variables dependientes

11 Desarrollando por la primera fila el determinante de la
matriz que es no nulo por hipótesis: Alguno de los Para fijar ideas suponemos Por hipótesis de inducción: Dadas las s-1 últimas ecuaciones Existen para tales que

12 Derivando respecto de x:
Sólo falta conseguir que se verifique la primera ecuación:

13 Sólo falta conseguir que se verifique la primera ecuación:
Aplicando el teorema de función implícita en el caso de una sola ecuación con una sola variable independiente se obtiene que verifica =0 Después definimos que verifican las s ecuaciones como queríamos.

14 Sólo basta verificar que se puede aplicar el teorema de
la función implícita a la ecuación A probar que se cumple : Teníamos: Supongamos por absurdo

15 Teníamos del pizarrón anterior:
Teníamos de antes: Es un sistema lineal homogéneo de s ecuaciones con s incógnitas que tiene como solución Entonces el determinante del sistema es cero, contradiciendo la hipótesis.

16 TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCAL . Ejemplo.
CLASE 21 PARTE 3: TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCAL . Ejemplo. Caso de varias ecuaciones. Bibliografía de la Clase 21: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 3, sección 3.1, parágrafo 36. Ejercicios para las clase 21 Práctico 6 del año 2006. Cálculo Diferencial e Integral II Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

17 EJEMPLO. Dado el sistema de ecuaciones:
Demostrar que existe función implícita local: en torno del punto y calcular donde U es algún entorno del pto.

18 Por el teorema de la función implícita local, existen
tales que Derivando respecto de x

19 OTRA FORMA DE CALCULAR LAS DERIVADAS
y’(0) y z’(0).