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Definición precisa de límite
Introduciendo el rigor matemático en el concepto de límite
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Informalmente habíamos definido:
“Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L, y notamos: si es posible acercarnos con los valores de f tanto como queramos a L, con sólo tomar valores de x suficientemente cercanos a a, pero no iguales a a.” Esto, que lo hemos expresado en palabras, trataremos ahora de expresarlo algebraicamente, básicamente definiendo qué quiere decir “tanto como queramos” y “suficientemente cercanos”. a L f(x)
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a L f(x) Si quiero que los valores de f caigan dentro de esta franja cerca de L… … me basta tomar valores de x dentro de este entorno de a
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a L f(x) Si ahora aumento mis exigencias y quiero que los valores de f caigan dentro de esta otra franja, más cerca aún de L… … me basta tomar valores de x dentro de este nuevo entorno (más pequeño) de a
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a L f(x) Para cualquier franja cercana a L en la cual yo quiera que caigan los valores de f… …tengo que ser capaz de encontrar un entorno de a donde los valores de f cumplan ese requisito
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Reemplazando “franja” y “entorno” por expresiones matemáticas…
f(x) Si quiero que los valores de f caigan entre L – ε y L + ε (con ε > 0)… … me basta tomar valores de x entre a – δ y a + δ, pero no iguales a a (con δ > 0)
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Introduciendo la condición de que tiene que ser válido para cualquier franja
f(x) Para cualquier ε > 0 que yo fije… … tengo que ser capaz de de encontrar un δ > 0 tal que si x está entre a – δ y a + δ, pero no es igual a a, entonces los valores de f caerán entre L – ε y L + ε
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Traduciendo a símbolos…
Para cualquier ε > 0 que yo fije… … tengo que ser capaz de de encontrar un δ > 0 … … tal que si x está entre a – δ y a + δ, pero no es igual a a, … … entonces los valores de f caerán entre L – ε y L + ε
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Introduciendo estos símbolos en nuestra definición…
f(x) Para cualquier ε > 0 que yo fije… … tengo que ser capaz de de encontrar un δ > 0 tal que si x está entre a – δ y a + δ, pero no es igual a a, entonces los valores de f caerán entre L – ε y L + ε
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Resumiendo… a L L - ε L + ε a - δ a + δ f(x)
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Para hacer más concisa la notación…
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Quedando finalmente… a L L - ε L + ε a - δ a + δ f(x)
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