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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Microeconomía Tema 2 : La demanda con incertidumbre Prof. Juan Gabriel Rodríguez.

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1 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Microeconomía Tema 2 : La demanda con incertidumbre Prof. Juan Gabriel Rodríguez

2 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID La teoría es asesinada tarde o temprano por la experiencia A. Einstein

3 Otras extensiones del modelo básico... zModelización de problemas económicos específicos yoferta de trabajo (comportamiento) yAhorro zNuevos conceptos yIncertidumbre yInformación asimétrica La incertidumbre expande la teoría del consumidor de forma interesante ……

4 Esquema Modelización de la incertidumbre Axiomas Utilidad esperada Teoría del Consumo: incertidumbre Prima de riesgo

5 Incertidumbre zconceptos zaxiomas sobre el consumidor zrestricciones sobre la estructura de las funciones de utilidad Aparecen nuevos:

6 Conceptos zEstados de la naturaleza Ejemplo Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={Rep, Dem} o quizás como: ={Rep, Dem, Ind} Ejemplo Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={Rep, Dem} o quizás como: ={Rep, Dem, Ind} zprobabilidades p { p | p } zconsumo contingente {x } Un vector de consumo sobre el espacio zex ante antes de la realización zex post después de la realización Otro ejemplo Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={sol, lluvia} o quizás como: ={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...} Otro ejemplo Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={sol, lluvia} o quizás como: ={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}

7 Distinción ex ante/ex post tiempo Momento en el que se revela el estado de la naturaleza Las decisiones se realizan aquí La visión ex ante La visión ex post Momento de la verdad La línea del tiempo Abanico de estados posibles ( Sólo un estado se realiza

8 Un enfoque simplificado El espacio de los estados es finito zSe simplifica si los planes de consumo son escalares El consumo, resultado o premio en el estado de la naturaleza es x (un número real) zEjemplo: el caso bidimensional Tomamos = { ROJO,AZUL } Representación gráfica...

9 Espacio de los estados ( =2) x AZUL x ROJO O Espacio de consumo bajo incertidumbre con 2 estados de la naturaleza Un consumo contingente en el caso 1-bien 2-estados Y 0 resultado si ocurre AZUL resultado si ocurre ROJO 45° Los componentes de un plan de consumo contingente en el caso de 2 estados Consumos con certidumbre perfecta

10 Preferencias zEl espacio de bienes se ha expandido: Si hay un número N de estados posibles entonces......en vez de n bienes tenemos n N bienes zLa teoría del consumo se puede aplicar: Los axiomas estándar sobre las preferencias son apropiados pero requieren una reinterpretación veamos

11 Axiomas p p x | Consecuencialismo (premisa): La utilidad sobre una lotería compuesta depende sólo de las probabilidades netas de los resultados últimos. Dada una lotería L= (x 1, L;p 1,p 2 ), donde L= (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ). Entonces: (x 1, L;p 1,p 2 ) ~ (x 1,x 2 ; p 1 +p 2 p 1, p 2 p 2 ).

12 Ejemplo Dada (100,L;0.5,0.5) donde L= (100,50;0.5,0.5) Es indiferente a (100,50;0.75,0.25) Aunque hay datos empíricos que muestran que los consumidores se comportan de distinta forma ante estas loterías…

13 Axiomas zCompletitud zTransitividad zContinuidad zMonotonía zDominancia estocástica zConvexidad (estricta) zDiferenciabilidad zIndependencia Aseguran la existencia de una función de utilidad Dan forma a la función de utilidad y a las curvas de indiferencia

14 Preferencias zsus probabilidades p zLos consumos contingentes {x | } Se establecen sobre: Si entonces se establecen sobre: (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) En lo que sigue, x es un número real

15 Completitud p p x x | Dados cualesquiera (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ). Entonces Dados cualesquiera (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ). Entonces: z (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) zó (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) zó (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) ~ (x 1,x 2 ;p 1,p 2 )

16 Transitividad p p p x x x | Dados (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ), (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ): z si (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y z (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) Entonces: (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 )

17 Continuidad x AZUL x ROJO O Preferencias no contínuas Y 0 Imponemos continuidad huecos no huecos Un plan de consumo contingente Y 0 E Buscamos el punto E, posible gracias a continuidad La renta se conoce como el equivalente de certeza de Y 0

18 Monotonía (débil) p x x | Dados cualesquiera (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) con x 1 > x 1 y x 2 x 2. Entonces: z (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 )

19 Monotonía (estricta) p x x | Dados cualesquiera (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) con x 1 > x 1 y x 2 x 2. Entonces: z (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 )

20 Monotonía x AZUL x ROJO O El plan de consumo contingente Y 1 es estrictamente preferido a Y 0 tanto por monotonía estricta como débil Y 1 Y 0

21 Dominancia estocástica p p x | Dados cualesquiera (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) si x 1 >x 2 y si p 1 >p 1 (y p 2


22 Convexidad (estricta) p x x | Dados dos arbitrarios (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) ~ (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1, x 2 ) =(t x 1 +(1-t) x 1, t x 2 +(1-t) x 2 ) z (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) ~ (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) t

23 Convexidad (estricta) x AZUL x ROJO O Dados dos arbitrarios consumos contingentes Y 0 e Y 1 Y 0 Y 1 Puntos en el interior de la línea Y 0 Y 1 representan una combinación de Y 0 y Y 1 Y 2 representa un menor riesgo Si U es estrictamene cuasicóncava Y 2 es preferido estrictamente a Y 0 e Y 1 Y 2

24 Independencia Sean L, L, L tres loterias diferentes y (0,1), entonces: L L L + (1- )L L + (1- )L La relación de preferencia entre dos loterias es independiente de la valoración de las restantes Implica estructura lineal y aditiva en probabilidades

25 Axiomas Dados los axiomas anteriores: Existe una función de utilidad U y ésta pertenece a la clase de funciones de utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern: donde u( x es una función cuasicóncava, independiente del estado U(x p p u x U es cardinal: solo transformaciones afines (V=a+bU, b>0) representan las mismas preferencias

26 Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM x AZUL x ROJO O ¿Cuál es su pendiente sobre la línea de 45º? Una típica CI Todas tienen la misma pendiente sobre la línea de 45º p ROJO – _____ p AZUL p ROJO – _____ p AZUL

27 Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM x AZUL x ROJO O p ROJO – _____ p AZUL p ROJO – _____ p AZUL Dado un consumo contingente Y 0 E(x) Y (renta) media Y 0 Y 1 Y Prolongamos la línea desde Y 0 hasta Y 1 Por convexidad de las preferencias: U(Y) U(Y 0 ) un resultado útil

28 E(x) x AZUL x ROJO l A l M - p ROJO p AZUL l B PR= E(x) - cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo PR= E(x) - cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo La prima de riesgo De nuevo trazamos la línea desde el consumo contingente A... La pendiente es el ratio de probabilidades Corta a la diagonal en......la renta media Nos sirve para definir... La prima de riesgo

29 u u(x)u(x) x1x1 x x2x2 u( x 1 ) u(x 2 ) E(x) u(Ex) Eu(x )Eu(x ) Cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo La prima de riesgo Utilidad de dos resultados posibles El resultado esperado y la utilidad del resultado esperado La utilidad esperada y el equivalente de certeza La prima de riesgo de nuevo

30 La prima de riesgo La curvatura de la función de utilidad (aversión al riesgo) y de la dispersión de x 1 y x 2, dado p Una aproximación de PR: El primer término es el coefficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo Depende de:

31 Modelo de Seguros zRiqueza w zValor de la propiedad L zProbabilidad de pérdida p zPrima de seguro por cada euro de cobertura zDinero recuperado q ¿Cuál será el grado de cobertura óptimo? Max pu(w-L+q- q)+(1-p)u(w- q) CPO:

32 Modelo de Seguros El beneficio esperado para el asegurador es: p( q-q)+(1-p) q Pero si hay competencia perfecta… p( q-q)+(1-p) q = 0 p= (Prima actuarialmente justa). Entonces… Como u(w)<0 (hay máximo): q*=L Si hay riesgo moral…

33 Modelo de Cartera z2 periodos z2 activos: seguro e incierto zRiqueza w za activo incierto y w-a activo seguro zRendimiento activo incierto R (variable aleatoria) zRendimiento activo seguro r=0 ¿Cuál será la demanda del activo incierto? La riqueza del periodo 2: W = a(1+R)+(w-a)(1+r) = w+aR (variable aleatoria) Utilidad esperada: v(a)=Eu(w+aR) CPO: v(a)=Eu(w+aR)R v(a)=Eu(w+aR)R 2 < 0 (por aversión al riesgo)

34 Modelo de Cartera Solución esquina a=0: v(0)=Eu(w+0R)R=u(w)ER Si ER0 entonces v(0) 0 por aversión estricta… v(a) 0 Si ER>0 entonces v(0) = u(w)ER > 0 por lo que invertirá…. Eu(w+aR)R = 0 …hasta que Eu(w+aR) = 0 ¿Cómo varía a cuando cambia w? Sabemos que Eu(w+a(w)R)R = 0 Diferenciamos respecto a w: Eu(w+aR)R[1+a(w)R] = 0 por lo que…

35 Modelo de Cartera A(w) tendrá el signo del numerador…pero sabemos que este es positivo (nulo o negativo) si la aversión absoluta al riesgo es decreciente (constante, creciente) Supongamos que es decreciente… Si R>0 Si R<0 (lo mismo) por lo que…

36 Práctica (1) Un consumidor posee una casa valorada en 25 millones de u.m.. La probabilidad de que ésta sea totalmente destruida por un incendio (en cuyo caso perdería todo su valor) es de 0,01. (a) Si las preferencias están representadas por la función de utilidad esperada u(x)=x 1/2, donde x es la riqueza del consumidor al final del año, ¿aceptaría el consumidor asegurar completamente la casa por u.m.? (b) Suponiendo que el riesgo del incendio sea el mismo para todos los consumidores,¿sería ésta una cuota de seguro aceptable para una compañía de seguros? (suponga que la compañía es neutral con respecto al riesgo).¿Cuál es la cuota máxima de seguro que está dispuesto a pagar el consumidor?¿y la cuota mínima que está dispuesto a ofrecer la compañía?¿qué relación hay entre estas cuotas, el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la lotería que representa la propiedad de la casa sin seguro?

37 Práctica (2) Un individuo tiene unas preferencias por la función de utilidad esperada u(x)= x 1/2, donde x es su riqueza. Se le ofrece una lotería L=(4,9;0.2,0.8), donde las ganancias están expresadas en millones de u.m.. Determine el equivalente de certeza y la prima de riesgo para ese individuo si su riqueza inicial es 0 millones, 50 millones y 100 millones de u.m.¿Y si su función de utilidad esperada fuera u(x)=ln x? Compara y comenta los resultados. ¿Cuál es la relación entre la riqueza y el grado de aversión al riesgo?

38 Práctica (3) Un consumidor se plantea invertir toda su riqueza W=100 en cada uno de los dos activos disponibles. Uno de renta fija, que proporciona un rendimiento seguro del 10%. El otro, de renta variable, proporciona un rendimiento del 20% con una probabilidad del 50% y un rendimiento del 5% con una probabilidad del 50%. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W 1/3. (a) determine en qué activo invertirá toda su riqueza. ¿Cuál es el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la inversión en el activo de renta variable? (b) le beneficiaría invertir la mitad de su riqueza en cada activo.

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