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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID 4º ECONOMÍA Microeconomía Superior Tema 4 : Elección bajo incertidumbre Prof. Juan Gabriel Rodríguez.

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1 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID 4º ECONOMÍA Microeconomía Superior Tema 4 : Elección bajo incertidumbre Prof. Juan Gabriel Rodríguez

2 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID La teoría es asesinada tarde o temprano por la experiencia A. Einstein

3 Incertidumbre zconceptos zaxiomas sobre el consumidor zrestricciones sobre la estructura de las funciones de utilidad Aparecen nuevos:

4 Conceptos zEstados de la naturaleza Ejemplo Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={Rep, Dem} o quizás como: ={Rep, Dem, Ind} Ejemplo Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={Rep, Dem} o quizás como: ={Rep, Dem, Ind} zprobabilidades { | } zconsumo contingente { } Un vector de consumo sobre el espacio zex ante antes de la realización zex post después de la realización Otro ejemplo Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={sol, lluvia} o quizás como: ={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...} Otro ejemplo Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={sol, lluvia} o quizás como: ={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}

5 Distinción ex ante/ex post tiempo Momento en el que se revela el estado de la naturaleza Las decisiones se realizan aquí La visión ex ante La visión ex post Momento de la verdad La línea del tiempo Abanico de estados posibles ( Sólo un estado se realiza

6 Un enfoque simplificado El espacio de los estados es finito zSe simplifica si los planes de consumo son escalares El consumo, resultado o premio en el estado de la naturaleza es x (un número real) zEjemplo: el caso bidimensional Tomamos = { ROJO,AZUL } Representación gráfica...

7 Espacio de los estados ( =2) AZUL ROJO O Espacio de consumo bajo incertidumbre con 2 estados de la naturaleza Un consumo contingente en el caso 1-bien 2-estados Y 0 resultado si ocurre AZUL resultado si ocurre ROJO 45° Los componentes de un plan de consumo contingente en el caso de 2 estados Consumos con certidumbre perfecta

8 Preferencias zEl espacio de bienes se ha expandido: Si hay un número N de estados posibles entonces......en vez de n bienes tenemos n N bienes zLa teoría del consumo se puede aplicar: Los axiomas estándar sobre las preferencias son apropiados pero requieren una reinterpretación veamos

9 Axiomas | Consecuencialismo (premisa): La utilidad sobre una lotería compuesta depende sólo de las probabilidades netas de los resultados últimos. Dada una lotería L= ( 1, L; 1, 2 ), donde L= ( 1, 2 ; 1, 2 ). Entonces: ( 1, L; 1, 2 ) ~ ( 1, 2 ; , 2 2 ).

10 Ejemplo Dada (100,L;0.5,0.5) donde L= (100,50;0.5,0.5) Es indiferente a (100,50;0.75,0.25) Aunque hay datos empíricos que muestran que los consumidores se comportan de distinta forma ante estas loterías…

11 Axiomas zCompletitud zTransitividad zContinuidad zMonotonía zDominancia estocástica zConvexidad (estricta) zDiferenciabilidad zIndependencia Aseguran la existencia de una función de utilidad Dan forma a la función de utilidad y a las curvas de indiferencia

12 Preferencias zsus probabilidades zLos consumos contingentes { | } Se establecen sobre: Si entonces se establecen sobre: ( 1, 2 ; 1, 2 ) En lo que sigue, es un número real

13 Completitud | Dados cualesquiera ( 1, 2 ; 1, 2 ) y ( 1, 2 ; 1, 2 ). Entonces: z ( 1, 2 ; 1, 2 ) ( 1, 2 ; 1, 2 ) zó ( 1, 2 ; 1, 2 ) ( 1, 2 ; 1, 2 ) zó ( 1, 2 ; 1, 2 ) ~ ( 1, 2 ; 1, 2 )

14 Transitividad | Dados ( 1, 2 ; 1, 2 ), ( 1, 2 ; 1, 2 ) y ( 1, 2 ; 1, 2 ): z si ( 1, 2 ; 1, 2 ) ( 1, 2 ; 1, 2 ) y z ( 1, 2 ; 1, 2 ) ( 1, 2 ; 1, 2 ) Entonces: ( 1, 2 ; 1, 2 ) ( 1, 2 ; 1, 2 )

15 Continuidad AZUL ROJO O Preferencias no contínuas Y 0 Imponemos continuidad huecos no huecos Un plan de consumo contingente Y 0 E Buscamos el punto E, posible gracias a continuidad La renta se conoce como el equivalente de certeza de Y 0

16 Monotonía (débil) | Dados cualesquiera ( 1, 2 ; 1, 2 ) y ( 1, 2 ; 1, 2 ) con 1 > 1 y 2 2. Entonces: z ( 1, 2 ; 1, 2 ) ( 1, 2 ; 1, 2 )

17 Monotonía (débil) | Dados cualesquiera ( 1, 2 ; 1, 2 ) y ( 1, 2 ; 1, 2 ) con 1 > 1 y 2 2. Entonces: z ( 1, 2 ; 1, 2 ) ( 1, 2 ; 1, 2 )

18 Monotonía AZUL ROJO O El plan de consumo contingente Y 1 es estrictamente preferido a Y 0 tanto por monotonía estricta como débil Y 1 Y 0

19 Dominancia estocástica | Dados cualesquiera ( 1, 2 ; 1, 2 ) y ( 1, 2 ; 1, 2 ) si 1 > 2 y si 1 > 1 (y 2< 2 ). Entonces: z ( 1, 2 ; 1, 2 ) ( 1, 2 ; 1, 2 ) Ejemplo: (100,10; 0.7,0.3) (100,10; 0.5,0.5)

20 Convexidad (estricta) | Dados dos arbitrarios ( 1, 2 ; 1, 2 ) ~ ( 1, 2 ; 1, 2 ) ( 1, 2 ) =(t 1 +(1-t) 1, t 2 +(1-t) 2 ) z ( 1, 2 ; 1, 2 ) ( 1, 2 ; 1, 2 ) ~ ( 1, 2 ; 1, 2 ) t

21 Una función de utilidad u 0 U(x 1,x 2 ) x2x2 x1x1 Curva de indiferencia

22 Otra función de utilidad que representa las mismas preferencias u 0 U*(x 1,x 2 ) x2x2 x1x1 La misma curva de indiferencia

23 Convexidad (estricta) AZUL ROJO O Dados dos arbitrarios consumos contingentes Y 0 e Y 1 Y 0 Y 1 Puntos en el interior de la línea Y 0 Y 1 representan una combinación de Y 0 y Y 1 Y 2 representa un menor riesgo Si U es estrictamene cuasicóncava Y 2 es preferido estrictamente a Y 0 e Y 1 Y 2

24 Independencia Sean L, L, L tres loterias diferentes y (0,1), entonces: L L L + (1- )L L + (1- )L La relación de preferencia entre dos loterias es independiente de la valoración de las restantes Implica estructura lineal y aditiva en probabilidades

25 Axiomas Dados los axiomas anteriores: Existe una función de utilidad U y ésta pertenece a la clase de funciones de utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern: donde u( es una función creciente, independiente del estado U( u U es cardinal: solo transformaciones afines (V=a+bU, b>0) representan las mismas preferencias

26 Paradoja de Allais Juego 1. Probabilidad 1 de recibir 1 millón. Juego 2. Probabilidad 0,1 de recibir 5 millones, 0,89 de recibir 1 millón y 0,01 de recibir 0. Juego 3. Probabilidad 0,11 de recibir 1 millón y 0,89 de recibir 0. Juego 4. Probabilidad 0,10 de recibir 5 millones y 0,90 de recibir 0. Si elijes 1 y 4 o 2 y 3…eres… ¡¡¡IRRACIONAL!!!

27 U U(x)U(x) X (riqueza) Actitudes frente al riesgo u( x 1 ) x1x1 x2x2 u(x 2 ) E(L) u(E(L)) U(L )U(L ) wcwc Cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo

28 Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM x2x2 x1x1 O ¿Cuál es su pendiente sobre la línea de 45º? Una típica CI Todas tienen la misma pendiente sobre la línea de 45º ¿RMS?

29 Aversión al riesgo Coeficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo: Coeficiente de Arrow-Pratt de aversión relativa al riesgo: Algunos casos de interés…

30 La prima de riesgo La curvatura de la función de utilidad (aversión al riesgo) y de la dispersión de x 1 y x 2, dado Una aproximación de PR: El primer término es el coefficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo Depende de:

31 Modelo de Cartera z2 periodos z2 activos: seguro e incierto zRiqueza w zX activo incierto y w-X activo seguro (0 X w) zRendimiento activo incierto e (variable aleatoria): e 1 y e 2 zRendimiento activo seguro r, donde asumimos e 1 > r > e 2 ¿Cuál será la demanda del cada activo? La riqueza del periodo 2 : w 1 = X(1+e 1 )+(w-X)(1+r) = (1+r)w+X(e 1 -r) w 2 = X(1+e 2 )+(w-X)(1+r) = (1+r)w+X(e 2 -r)

32 Modelo de Cartera Problema del inversor: Max u(w 1 )+(1- )w 2 s.a. Si el individuo invierte una cantidad positiva en cada activo (solución interior) y aversión al riesgo: w 1 * y w 2 * se resuelven utilizando la expresión para w 2 y la RMS.


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