Integrales. Área de regiones en coordenadas Polares.

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1 Integrales. Área de regiones en coordenadas Polares

2 Habilidades Identifica la región mediante curvas polares.
Grafica la o las curvas polares que limitan la región. Plantea la integral que permite calcular el área de la región limitada por curvas polares. Calcular áreas en coordenadas polares.

3 Introducción: En esta sección deduciremos una expresión para calcular el área de una región determinada por una ecuación en coordenadas polares. Para ello recordemos el área de un sector circular de radio r y ángulo   r 1 Donde r es el radio y  es el ángulo central en radianes.

4 Sea R la región que vemos en la figura, limitada por la curva de ecuación r = f() y los rayos  = a y  = b, donde f es positiva y continua. r = f()  = b R  = a b a O

5 Dividimos la región R en n regiones mas pequeñas con ángulo central .
r = f()  = b   = a

6 Por lo tanto, el área de la i-ésima región se aproxima como un sector circular de radio f() y ángulo . Así, de la fórmula 1 tendremos:

7 Una aproximación al área total de R estará dada por la suma de áreas de sectores circulares...
r = f()  = b  = a

8 Es decir.... Según se observa en la figura anterior, la aproximación mejora cuando n . Ya que estas sumas son Sumas de Riemann, resulta... 2

9 Con frecuencia esta fórmula se escribe...
3 Observe la similitud entre las fórmulas 1 y 3. NOTA: Al aplicar la fórmula 3 es necesario imaginar que el área está barrida por un rayo que sale de O y gira desde a hasta b.

10 Ejemplo 1 Calcule el área encerrada por uno de los cuatro pétalos de la curva r = cos (2)

11 Ejemplo 2: Calcule el área de la región dentro del círculo r = 3 sen  y fuera de la cardioide r = 1 + sen 

12 Problema Una piscina tiene una sección que sigue el perfil de la región interior a la cardioide y exterior a la curva Si “ r ” está dado en metros, calcule la cantidad de agua necesaria para llenar la piscina hasta una profundidad de 1,5m.

13 Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart
Ejercicios 10.4 Pág : 6, 8, 18, 26, 28 y 30.