Razón de Cambio Promedio Razón de Cambio instantánea (la derivada)

Presentación del tema: "Razón de Cambio Promedio Razón de Cambio instantánea (la derivada)"— Transcripción de la presentación:

1 Razón de Cambio Promedio Razón de Cambio instantánea (la derivada)

2 Razón de Cambio Promedio
La razón de cambio promedio de “y” respecto a “x”, cuando x cambia de x1 a x2 corresponde a la razón de: el cambio en el valor de salida entre el cambio en el valor de entrada:

3 Ejemplo: Para f(x) = x2, determine la razón de cambio promedio cuando: a. x cambia de 1 a 3 b. x cambia de 1 a 2 c. x cambia de 2 a 3

4 Razones de cambio promedio
Ls f (x+h) f (x) x + h x h

5 Razones de cambio promedio
La razón promedio de f con respecto a x está dado por:

6 Ejercicio: Para f(x) = x2 determine la razón de cambio promedio en cada caso: a. x = 5 y h = 3 b. x = 5 y h = 0,1

7 Note que la razón de cambio promedio no es otra cosa que la pendiente de la recta secante (L s) la gráfica de la función. Es decir :

8 Razones de cambio promedio
Ls f (x+h) f (x) x + h x h

9 La Derivada Si tomamos el límite de la razón de cambio promedio cuando “h” tiende a cero, la pendiente de la recta secante se convierte en la pendiente de la recta tangente, observemos:

10 h

11 h

12 h

13 h

14 Tangente!!!

15 En el límite, cuando h tiende a cero, la recta secante se confunde con la recta tangente en x0 , y podemos decir que :

16 Este último límite es conocido en el Cálculo Diferencial é Integral como la derivada de la función respecto de la variable x, en x = x0 .

17 En consecuencia, la derivada de una función es numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = x0 .

18 El valor de la derivada de una función indica la rapidez con que la función está cambiando en un valor específico de x, en x = x0.

19 entonces,la derivada de una función en x = x0 es:
Conceptualización de la derivada de una función Pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = x0 entonces,la derivada de una función en x = x0 es: La razón de cambio instantánea de la función en x = x0

20 Notación de la derivada de una función :
La derivada de una función y = f(x) respecto de la variable x, se denota de las siguientes maneras :

21 Ejemplo: Usando la definición, determine las expresiones de la derivada de las siguientes funciones : a) f(x)=x b) f(x)= x2

22 Ejemplo Determine la ecuación de la tangente a la curva y = x2 en el punto donde x = 2.

23 Técnicas de derivación

24 Regla de la potencia ¿Cuáles eran las derivadas de las siguientes funciones? f(x) = x f(x) = x2 ¿Se puede generalizar?

25 Regla de la potencia Ejemplos

26 Derivada de una función constante
La derivada de una función constante es cero Es decir : Ejemplos

27 Derivada de una constante por una función:
La derivada de una constante por una función, corresponde a la constante multiplicada por la derivada de la función. Esto se puede escribir asi : Ejemplos

28 Derivada de una suma o diferencia de funciones
La derivada de una suma o diferencia de funciones, es igual a la suma o diferencia de las derivadas de dichas funciones Ejemplos

29 Derivada del producto de funciones
Ejemplos

30 Derivada del cociente de funciones
Si : Entonces: Ejemplos

31 Aplicación de la razón de cambio instantánea Marginalidad

32 Razón de cambio instantánea

33 Análisis Marginal ¿Cómo podríamos determinar en forma aproximada el costo de producción de la novena unidad sin tener que hacer una diferencia de costos?

34 Análisis Marginal 8 9 C(8) C(9) Creal Caproximado C(q)

35 Análisis Marginal La pendiente de la recta tangente en q = 8 es la derivada del costo total en q = 8 Esta pendiente es numéricamente igual a cociente Caproximado / 1, es decir, al costo aproximado

36 Análisis Marginal De los párrafos anteriores se puede deducir que C´(8) = Caproximado unidad 9 A este costo aproximado se le conoce como el costo marginal de producir la novena unidad

37 En general podemos decir que : C marginal unidad “n” = C´(n-1)
Análisis Marginal En general podemos decir que : C marginal unidad “n” = C´(n-1)

38 La función ingreso marginal es la derivada de la función ingreso
Análisis Marginal La función ingreso marginal es la derivada de la función ingreso La función utilidad marginal es la derivada de la función utilidad