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Septiembre 2012 V.B.V. MAT022 – II semestre 2012.

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Presentación del tema: "Septiembre 2012 V.B.V. MAT022 – II semestre 2012."— Transcripción de la presentación:

1 Septiembre 2012 V.B.V. MAT022 – II semestre 2012

2 2 Ya estudiamos la integral de Riemann f(x) ab

3 Área Sea f una función no negativa y acotada en [a,b] Buscamos calcular el área en la región: R= {(x,y) 2 : x [a,b] y [0,f(x)]} Se denota: A a b (f)

4 Proposición. f riemann integrable el área A a b (f) corresponde a la integral de riemann.

5 5 Área entre dos funciones f(x) ab g(x)

6 Área entre dos funciones Sean f y g funciones. Se tiene: x [a,b]: 0 f(x) g(x) : A a b (f) A a b (g) c [a,b]: A a b (f) = A a c (f) + A c b (f)

7 Proposición. El área encerrada por dos funciones f y g entre a y b, está dada por:

8 ESTRATEGIA 1. Hacer la grafica 2. Calcular intersección(es) de las curvas 3. Estudiar los rectángulos 4. Determinar |f(x)-g(x)| Luego de obtener esto, calcular el área.

9 Ejemplo 1: Área entre dos curvas Calcular el área de la región acotada por las graficas de y = x 2 +2 ; y = -x ; x = 0 ; x = 1 OBS: f y g no se cortan a y b se dan explicitamente

10 Ejemplo 2: Área entre dos curvas que se cortan, con a y b desconocidos Calcular el área de la región acotada por las graficas de y = 2 –x 2 ; y = x

11 Ejemplo 3: Área entre dos curvas que se cruzan Calcular el área de la región acotada por las graficas de f(x) = x 2 ; g(x) = 2- x 2 ; 0 x 2

12 Ejemplo 4: Área de una región determinada por 3 curvas. Calcular el área de la región acotada por las graficas de y = x 2 ; y= 2- x ; y=0

13 Observación : Imaginar que rotamos los ejes… O bien pensar en intercambiar x por y. Podemos calcular el área en términos de dy.

14 Ejemplo 5: Calcular el área como una integral en y. Resolver el ejercicio anterior en dy. IMPORTANTE: Escribir x=f -1 (y) ; x=g -1 (y) Determinar intersección en y. Signo de f -1 (y) - g -1 (y) en el intervalo [c,d]

15 Ejercicio Propuesto: 1. Encontrar el área de las regiones encerradas por: x=3-y 2 ; x=y+1. Utilizar dx y dy ¿en que caso resulta mas simple? 2. Calcular el área acotada por las graficas de x= y 2 ; x=2-y 2

16 Ejemplo 6: Los puntos de intersección no se conocen exactamente. Calcular el área acotada por y= cos x e y = x 2

17 Ejemplo 7: Área de una curva cerrada (loops). Calcular el área acotada por y 2 = x 2 - x 4

18 Ejercicios Propuestos: Encontrar el área de las regiones encerradas por: y=3-x ; y=x 2 -9 y=10x-x 2 ; y = 3x-8 y = sen x ; y = cos x entre las rectas x=0 y x= 8y = x 3 ; 8y = 2x 3 +x 2 -2x xy = 9 ; x + y = 4


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