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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Aproximación lineal y diferenciales Aproximación lineal. Diferenciales. Polinomio de Taylor.

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Presentación del tema: "Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Aproximación lineal y diferenciales Aproximación lineal. Diferenciales. Polinomio de Taylor."— Transcripción de la presentación:

1 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Aproximación lineal y diferenciales Aproximación lineal. Diferenciales. Polinomio de Taylor.

2 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Habilidades 1. Define el proceso de linealización de una función. 2. Describe el concepto de diferencial de una función. 3. Interpreta el concepto de diferencial usando un gráfico. 4. Extiende la aproximación usando el polinomio de Taylor. 2

3 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Aproximación Lineal Usamos la recta tangente a f en el punto (a, f(a)), como una aproximación a la curva y = f(x), cuando x está cerca de a. Recta tangente: Definimos la linealización de f en a como: ax Aproximación lineal de f en a: cerca de a Definición 3

4 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ejemplo Encuentre la linealización de la función en a = 1 y úsela para aproximar y 4

5 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Diferencial de una función a a + h f (a) h h f(a + h) - f(a) Aproximamos el cambio o incremento de f en a, mediante el diferencial de f en a, cuando x está cerca de a: f(a+h) – f(a) f (a) h Es decir: Definimos el diferencial de una función f en a, como: Se utiliza = h: Definición 5

6 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Diferencial de una función Consideremos la función: Teorema 6 es decir: luego: Por lo que podemos escribir: En forma general:

7 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable a 1 x Polinomios de Taylor Este polinomio tiene las siguientes propiedades: cerca de a Definimos el polinomio de Taylor de grado 1 de f, con centro en a, como la linealización de f en a: Definición 7

8 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Polinomio de Taylor Aproximación lineal Hallar una función lineal p(x) que se aproxime a f(x) cerca de x = a Dado f(x). Para ello: p(a) = f(a) Aproximación cuadrática Hallar una función cuadrática p(x) que se aproxime a f(x) cerca de x = a Dado f(x). Para ello: p(a) = f(a)

9 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Polinomios de Taylor Este polinomio resulta ser: cerca de a a 2 x Definimos el polinomio de Taylor de grado 2 de f,. con centro en a, como aquel polinomio que tiene las siguientes propiedades: Definición 9

10 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Polinomios de Taylor Definimos el polinomio de Taylor de grado n de f, con centro en a, como aquel polinomio que tiene las siguientes propiedades: Definición Este polinomio resulta ser: cerca de a Teorema 10

11 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ejemplo Halle un polinomio de tercer grado que aproxime a la función f(x) = sen x alrededor de a = 0. p3(x)p3(x)

12 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ejemplo Halle un polinomio de quinto grado que aproxime a la función f(x) = sen x alrededor de a = 0. p3(x)p3(x) p5(x)p5(x)

13 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ejemplo Halle un polinomio de tercer grado que aproxime a la función f(x) = e x alrededor de a = 0. p3(x)p3(x)

14 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ejemplo Halle un polinomio de tercer grado que aproxime a la función f(x) = e x alrededor de a = 0. p3(x)p3(x) p4(x)p4(x)

15 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Bibliografía Cálculo de una variable Cuarta edición James Stewart Ejercicios 3.11 pág 264: 5 al 44,


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