8 La función derivada. Derivadas.

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1 8 La función derivada. Derivadas

2 Habilidades Explicar con sus palabras el concepto de función derivada y su relación con la derivada de la de una función en un punto. Analizar la correspondencia entre la gráfica de una función y la gráfica de su función derivada. Explicar con sus palabras el concepto de derivada de orden superior. Utilizar adecuadamente las notaciones de Lagrange y de Leibniz para denotar funciones derivadas. Explicar el concepto de función derivable en un punto y en un intervalo y reconocer gráficamente los puntos en que no existe la derivada. Explicar y utilizar la relación entre continuidad y derivabilidad.

3 Definición: La derivada de f en el número a, denotada como f ’(a) se define como: si el límite existe.

4 Ejemplo En la figura se muestra la gráfica de una función f. Úsela para graficar f´ y y =f (x) x

5 La función derivada La función derivada de f en el número x, denotada como se define como: para todas las x en donde el límite exista. Notaciones: Si y = f(x): Función derivada Derivada en a Lagrange: Leibniz: Cauchy: Dy Df(x) Dxf(x) Newton:

6 Derivadas laterales Derivada por la derecha de a
Derivada por la izquierda de a y y = f(x) f ’(a) existe si y solo si Teorema: a x

7 Nota: La función f´, se conoce como derivada de f, porque se ha “derivado” de f por medio de la operación de hallar el límite. El dominio de f´, es el conjunto

8 Derivabilidad en un intervalo
x y y = f(x) b Se dice que f es derivable en (a, b) si es derivable en cada x  (a, b) a x y y = f(x) b Se dice que f es derivable en [a, b] si es derivable en (a, b) y existen y

9 Derivadas infinitas Sea f definida en a Si entonces f posee tangente
vertical para x = a Si entonces f posee tangente vertical para x = a Si

10 Puntos de tangente vertical
x y y = f(x) a x y y = f(x) a x y y = f(x) a x y y = f(x)

11 Relación continuidad - derivabilidad
Teorema: Si una función f es derivable en a entonces f es continua en a. Si una función f no es continua en a entonces f no es derivable en a. o también:

12 Ejemplo Grafique : Calcule las derivadas laterales en x = 1. y 1 2 3 x

13 Ejercicios 2.8, Pág. 162 6 Trazar las graficas de las derivadas de las siguientes funciones. 8 9

14 Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart
Sección 2.8. Pág Ejercicios 2.8, Pág : 3, 4, 8, 9,21,24,30,38.