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EC. DIFERENCIAL Def: Se llama ecuación diferencial a una relación que contiene una o varias derivadas de una función no especificada y con respecto a.

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2 EC. DIFERENCIAL Def: Se llama ecuación diferencial a una relación que contiene una o varias derivadas de una función no especificada y con respecto a x ; dicha relación, también puede contener a la propia y, funciones dadas de x y constantes. Por Ej: es una ecuación diferencial de orden n Una tal ecuación define y como una cierta función de x, sea2 Se entiende por resolución de una ecuación diferencial 1 encontrar la función 2 EJ: pero Si Tendremos

3 EC. DIFERENCIAL Def: El orden de una ecuación diferencial es el correspondiente al de la derivada de mayor indice que figura en ella. Ej: 2) dado Determinar tal que condición marginal o de frontera. Solución general de la ecuación diferencial. La solución pedida es : Presione Enter

4 EC. DIFERENCIAL Una función Es una solución de una ecuación diferencial de primer orden dada en algún Intervalo, digamos (quizás infinito) si está definida y es diferenciable en todo el intervalo y es tal que, la ecuación se transforma en una identidad cuando se reemplaza Continuando.... Presione Enter y, en lugar de y e y respectivamente. Ej: es solución de la ecuación diferencial de primer orden. Sí derivando se tiene. Pero sabemos que existe una función que es solución de la ecuación diferencial.

5 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Y si encontramos soluciones a la ecuación diferencial Luego podemos decir que la solución general de dicha ecuación es donde c es una constante arbitraria. Luego las soluciones del tipo etc. Corresponden a soluciones particulares de la ecuación diferencial y = y. Ej:1) Hallar la solución de: no tiene solución ya que y=0 es la única solución. 2) Hallar la solución de y= xy(0) =1 Tiene precisamente una solución, a saber, 3) Hallar la solución de xy=y-1 y(0)=1 Tiene un número infinito de soluciones, a saber y=1+cx donde c es arbitraria.

6 EC. DIFERENCIAL Presione Enter 4) El problema del tipo puede tener ninguna, precisamente una, o más de una solución. Esto conduce a plantearse dos problemas fundamentales. a) Problema de Existencia. ¿en qué, condiciones un problema con valor inicial de la forma tiene por lo menos una solución. b) Problema de Unicidad. ¿en qué condiciones un problema tiene una solución única? Estas condiciones se rigen por los teoremas de existencia de unicidad, respectivamente. Las condiciones para la existencia y unicidad de la solución son relativamente sencillas. Si es continua en alguna región del plano xy que contiene al punto. Entonces el problema tiene por lo menos una solución. Si además, la derivada parcial es continua en una región, entonces el problema tiene precisamente una solución.

7 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Teorema de existencia. Si es continua en todos los puntos (x,y) en alguna región R R: para todo entonces tiene como mínimo, una solución y(x), la cual está definida por lo menos para todo x en el intervalo Donde es el menor de los números Ecuación de primer orden y de grado n con respecto a y. 1) Resolvemos esta ecuación con respecto a y. Sean 2 Las soluciones reales de la ecuación 1 El conjunto de las integrales. 3

8 EC. DIFERENCIAL Presione Enter donde (x,y,c)=0 es la integral de la ecuación representa la integral general de la ecuación 1. Por lo tanto, por cada punto del dominio en que y toma valores reales, pasan curvas integrales. Ej: 1) Resolver la ecuación Solución: Despejando y tenemos

9 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Continuando....

10 EC. DIFERENCIAL Presione Enter 2) sustitución

11 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Factor de integración en Ec. Diferenciales 1) Sabemos que Luego vemos que varia en un signo por lo tanto tenemos que romper otra diferencial.

12 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Luego tenemos que

13 EC. DIFERENCIAL Presione Enter 2)

14 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Ecuaciones diferenciales Transformadas de Laplace. Se definen en términos de la integral impropia. Recordar la integral de Ricmann. : Si se hacen los límites infinitos. 1, para continua, se define, si dicho límite existe dice que 1 converge (si no converge).(De aquí el criterio de convergencia de la integral). Si el integrado contiene un parámetro, supóngase continua Y que la integral converge.

15 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Ej: Encontrar los valores de s para los cuales converge y encontrar una fórmula para. Si s=0, la diverge Si si: límite existe sino existe Por lo tanto la integral converge y para otros valores de s :

16 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Transformadas de Laplace. Supóngase quees función ental que converge para algunosvalores de s. Esta integral depende y de s. se puede determinar una función,asociada con tal que, para esos valores de s para los cuales la integral converge. se llama la Transformada de Laplace de. NOTA: L es un operador. Propiedades 1)

17 EC. DIFERENCIAL Presione Enter 2) siyson continuas enyentonces 3) si es continua en y entonces existe en s. Si Y sólo si existe en s y. 4) (como lo del anterior) Supongamos continua en y sí existe entonces, existe y =, que significa lo mismo que 1) 1)demostrar que para Dem:

18 EC. DIFERENCIAL Presione Enter = = = Otra forma de hacerlo. Aplicando propiedad 4 se tiene Sea

19 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Análogamente si, entonces y NOTA: Las transformadas de pueden calcularse como anteriormente.

20 I EC. DIFERENCIAL Presione Enter Ejercicios: 1) resolver A B Por 15 :

21 EC. DIFERENCIAL Presione Enter

22 EC. DIFERENCIAL Presione Enter por 2 y 9 se tiene 1) Resolver la ecuación: Se puede resolver utilizando la ecuación auxiliar.

23 Presione Enter EC. DIFERENCIAL Según la solución general 1) 3) Ecuación algebraica característica.

24 Presione Enter EC. DIFERENCIAL Se puede aplicar la relación de Euler.

25 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Sea 4)

26 EC. DIFERENCIAL Presione Enter 2

27 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Ecuación lineal homogénea de 2º orden con coeficientes constantes: 1con a y b ctes. Sean y dos números tales que: 2 Estos números están bien determinados, ya que cumplen dos condiciones independientes entre sí. Para determinarlo bastaría resolver el sistema 2. Reemplazando 2 en 1. 3 Sea 4 Siendo función de x ;

28 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Reemplazando en 3 se tiene: que es una ecuación de 1ª orden para. Tiene como solución general 5 5 en 4 Es el primer miembro de nuestra ecuación diferencial.

29 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Integramos respuesta a x Sea

30 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Casos particulares: a) b) c)son complejas conjugadas. Como b)..Sí Se tiene:

31 EC. DIFERENCIAL Presione Enter

32 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Siempre que Si quede 1) Resolver: Ec. Característica.

33 EC. DIFERENCIAL Presione Enter Solución particular

34 EC. DIFERENCIAL Presione Enter

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