1. Números complejos Definición de número complejo.

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1 1. Números complejos Definición de número complejo.
Operaciones básicas con números complejos. Complejo conjugado. Propiedades algebraicas. Origen y evolución de los números complejos en la historia de la matemática. Interpretación geométrica en el plano complejo. Módulo y argumento. Valor principal de la función multivaluada argumento. Operaciones básicas en el plano complejo. Relación entre los números complejos y la estructura de espacio vectorial real bidimensional. Desigualdad triangular. Forma polar y trigonométrica. Propiedades del argumento principal. Multiplicación en forma trigonométrica y su interpretación geométrica. Representación matricial de los números complejos. División en forma polar e interpretación geométrica. Fórmula de Moivre. Raíces de un número complejo. Teorema de Frobenius. Cuaterniones e hipercomplejos.

2 2. Funciones Conjuntos de puntos y definiciones topológicas básicas en el plano complejo. Conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot. Definición de función compleja Representación gráfica. Transformaciones mediante funciones lineales. Transformación 1/z. Transformación bilineal. Transformación de Zhukovsky. Límite de una función, Propiedades de los límites. Punto del infinito y esfera de Riemann. Continuidad de funciones. Punto de ramificación y corte de rama.

3 3. Funciones complejas Definición de derivada de una función compleja. Propiedades de la derivada compleja. Concepto de diferencial. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Forma polar de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones de suficiencia y necesidad de las ecuaciones de Cauchy-Riemann para la derivabilidad. Definición de función analítica. Puntos singulares y polos de orden n. Funciones armónicas.

4 4. Funciones básicas Función exponencial. Propiedades básicas. La transformación exponencial. Forma exponencial de los números complejos. Fasores y circuitos eléctricos. Funciones trigonométricas. Las funciones hiperbólicas. Propiedades y transformaciones. Función logarítmica y su valor principal. La transformación logarítmica y su analiticidad. Las funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas Funciones potenciales.

5 5. Integración Integrales de línea compleja. Arco suave a trozos. Contornos cerrados simples. Teorema integral de Cauchy. Teorema integral de Cauchy-Goursat. Principio de deformación de contornos. Independencia del camino de integración. Fórmula integral de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy generalizada. Analiticidad de las derivadas de cualquier orden de una función analítica. Teorema de Morera. Desigualdad de Cauchy. Teorema de Liouville.

6 6. Series Límite de una sucesión. Convergencia y divergencia. Series. Teorema de Cauchy para series. Convergencia absoluta y condicional. Comparación de series. Criterio del cociente y de la raíz. Definición de series de potencias. y fórmula de Cauchy-Hadamard. Teorema de Taylor. Multiplicación, derivación e integración de series. Series de Laurent. Teorema de Laurent.

7 7. Teoría de residuos Definición de residuo. Cálculo de integrales a través de residuos. Residuos en los polos. Ceros y polos de orden m. Fórmula para hallar residuos de polos de cualquier orden. Demostración del teorema del residuo. Cálculo de integrales reales. Suma de series mediante el teorema del residuo. La transformada z.