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Solución de problemas en circuitos eléctricos por transformada de Laplace. AUTORES:

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Presentación del tema: "Solución de problemas en circuitos eléctricos por transformada de Laplace. AUTORES:"— Transcripción de la presentación:

1 Solución de problemas en circuitos eléctricos por transformada de Laplace. AUTORES:

2 Planteamiento del Problema Al plantear ecuaciones en el dominio del tiempo a circuito eléctrico con resistencias, inductores, y condensadores, aparecen ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes y valores iniciales. Al plantear ecuaciones en el dominio del tiempo a circuito eléctrico con resistencias, inductores, y condensadores, aparecen ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes y valores iniciales.

3 Objetivos de la Investigación Aplicar la transformada de Laplace en la solución de problemas en circuitos eléctricos Aplicar la transformada de Laplace en la solución de problemas en circuitos eléctricos Objetivo General Presentar las generalidades teóricas y prácticas del método. Presentar las generalidades teóricas y prácticas del método. Objetivos Específicos

4 Aplicar la teoría en diferentes casos que involucran, resistencias, fuentes y condensadores. Aplicar la teoría en diferentes casos que involucran, resistencias, fuentes y condensadores. Aplicar el método a un circuito eléctrico típico Aplicar el método a un circuito eléctrico típico Objetivos de la Investigación Objetivos Específicos

5 Aplicaciones de la Transformada de Laplace, para la solución de ecuaciones diferenciales. Aplicaciones de la Transformada de Laplace, para la solución de ecuaciones diferenciales. En el caso de los circuitos eléctricos se puede trabajar por medio de modelos físicos haciendo más comprensible la solución del problema. En el caso de los circuitos eléctricos se puede trabajar por medio de modelos físicos haciendo más comprensible la solución del problema. Este estudio pretende ampliar, sintetizar y aplicar, de manera sencilla la teoría tal como se suele aplicar a los circuitos eléctricos Este estudio pretende ampliar, sintetizar y aplicar, de manera sencilla la teoría tal como se suele aplicar a los circuitos eléctricos Justificación

6 Alcances y Limitaciones Abarca aplicaciones básicas de la transformada de Laplace. Abarca aplicaciones básicas de la transformada de Laplace. Estudio de circuitos formados por fuentes, resistencias, condensadores e inductores. Estudio de circuitos formados por fuentes, resistencias, condensadores e inductores. Se hallarán las ecuaciones de corrientes y voltajes en el tiempo. Se hallarán las ecuaciones de corrientes y voltajes en el tiempo. No se analizan circuitos complejos que involucren otros elementos de circuitos. No se analizan circuitos complejos que involucren otros elementos de circuitos. Los resultados no serán contrastados experimentalmente Los resultados no serán contrastados experimentalmente

7 Bases Teóricas Definición de Transformada de Laplace Definición de Transformada de Laplace Propiedades de la Transformada de Laplace Propiedades de la Transformada de Laplace La transformada de Laplace es lineal La transformada de Laplace es lineal

8 Transformada de una derivada Transformada de una derivada Bases Teóricas Condensador y Capacitancia Condensador y Capacitancia Resistencia Resistencia Inductor e Inductancia Inductor e Inductancia Fuente Fuente Definición de términos básicos Definición de términos básicos Transformada de una integral Transformada de una integral

9 Marco Metodológico Definir el caso de estudio. Definir el caso de estudio. Identificar cada uno de los elementos del circuito eléctrico a resolver. Identificar cada uno de los elementos del circuito eléctrico a resolver. Plantear el diagrama del circuito eléctrico a resolver. Plantear el diagrama del circuito eléctrico a resolver. Establecer las ecuaciones diferenciales que permitan resolver el circuito eléctrico. Establecer las ecuaciones diferenciales que permitan resolver el circuito eléctrico. Realizar la transformación del dominio del tiempo al de la frecuencia. Realizar la transformación del dominio del tiempo al de la frecuencia.

10 Resolver el sistema algebraico obtenido al aplicar la transformada de Laplace. Resolver el sistema algebraico obtenido al aplicar la transformada de Laplace. Definir la señal de entrada o perturbación. Definir la señal de entrada o perturbación. En la medida de lo posible, aplicar la transformación inversa para obtener la solución de la ecuación diferencial planteada. En la medida de lo posible, aplicar la transformación inversa para obtener la solución de la ecuación diferencial planteada. Graficar y analizar los resultados. Graficar y analizar los resultados. Marco Metodológico

11 Caso I: CIRCUITO RCL Definición del caso Definición del caso Elementos del circuito Elementos del circuito Diagrama del circuito Diagrama del circuito

12 Se aplica una la Ley de Kirchoff Se aplica una la Ley de Kirchoff Aplicando las definiciones para cada elemento del circuito Aplicando las definiciones para cada elemento del circuito Caso I: CIRCUITO RCL

13 Transformación al dominio de la frecuencia Transformación al dominio de la frecuencia Caso I: CIRCUITO RCL Corriente en el dominio de la frecuencia Corriente en el dominio de la frecuencia

14 Caso I: CIRCUITO RCL Solución de la ecuación diferencial Solución de la ecuación diferencial Si se asume que el potencial aplicado es de corriente directa Si se asume que el potencial aplicado es de corriente directa Aplicando la transformada inversa de Laplace Aplicando la transformada inversa de Laplace

15 Caso I: CIRCUITO RCL Gráfica del resultado Gráfica del resultado

16 Caso II: Motor eléctrico de corriente directa Definición del Caso Definición del Caso Elementos del circuito Elementos del circuito Diagrama del Circuito Diagrama del Circuito

17 Caso II: Motor eléctrico de corriente directa Relación torque – Corriente eléctrica Relación torque – Corriente eléctrica Relación torque – Velocidad Angular Relación torque – Velocidad Angular Ecuación de Voltaje Ecuación de Voltaje

18 Caso II: Motor eléctrico de corriente directa Ecuación diferencial del sistema físico Ecuación diferencial del sistema físico Transformación al dominio de la frecuencia Transformación al dominio de la frecuencia Si se asume que el potencial aplicado es de corriente directa Si se asume que el potencial aplicado es de corriente directa

19 Caso II: Motor eléctrico de corriente directa Ecuación en el dominio de la frecuencia Ecuación en el dominio de la frecuencia Solución de la ecuación diferencial Solución de la ecuación diferencial La solución se obtiene realizando una expansión en fracciones parciales.

20 Caso II: Motor eléctrico de corriente directa Expansión en fracciones parciales Expansión en fracciones parciales Los valores de A, B, C son: Los valores de A, B, C son: Con

21 Caso II: Motor eléctrico de corriente directa Aplicando la transformada inversa Aplicando la transformada inversa

22 Caso II: Motor eléctrico de corriente directa Grafica Velocidad Angular - Tiempo Grafica Velocidad Angular - Tiempo

23 Conclusiones Se logró conocer la importancia de la técnica de transformada de Laplace en la resolución y análisis de circuitos eléctricos. Se logró conocer la importancia de la técnica de transformada de Laplace en la resolución y análisis de circuitos eléctricos. Existe una equivalencia real entre los elementos principales de un circuito eléctrico como los resistores, condensadores e inductores en el dominio del tiempo y en el dominio de Laplace. Existe una equivalencia real entre los elementos principales de un circuito eléctrico como los resistores, condensadores e inductores en el dominio del tiempo y en el dominio de Laplace. La existencia de las equivalencias de circuitos permite la posibilidad de analizar circuitos eléctricos directamente en el dominio de Laplace sin tomar en cuenta el dominio del tiempo. La existencia de las equivalencias de circuitos permite la posibilidad de analizar circuitos eléctricos directamente en el dominio de Laplace sin tomar en cuenta el dominio del tiempo.

24 Conclusiones La técnica de Transformada aplicada permite resolver ecuaciones diferenciales lineales relativamente complejas como el circuito de RCL y el motor eléctrico. La técnica de Transformada aplicada permite resolver ecuaciones diferenciales lineales relativamente complejas como el circuito de RCL y el motor eléctrico. Se obtuvo una solución en el tiempo para un circuito RCl dando una función periódica amortiguada. Se obtuvo una solución en el tiempo para un circuito RCl dando una función periódica amortiguada. Se resolvió el problema de un motor eléctrico resultando en una ecuación que es suma de exponenciales pero en el cual la frecuencia de rotación del motor se estabiliza a un valor dado por: Se resolvió el problema de un motor eléctrico resultando en una ecuación que es suma de exponenciales pero en el cual la frecuencia de rotación del motor se estabiliza a un valor dado por:


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