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1 Conceptos básicos Cálculo matricial de estructuras Guillermo Rus Carlborg.

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1 1 Conceptos básicos Cálculo matricial de estructuras Guillermo Rus Carlborg

2 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Índice Introducción Métodos matriciales: relaciones básicas Discretización: barras y nudos Métodos de compatibilidad y equilibrio Conceptos de matriz de rigidez y flexibilidad

3 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Conocimientos previos Mecánica de medios continuos: Esfuerzo + Tensión + Deformación + Desplazamiento Equilibrio + Comportamiento + Compatibilidad Resistencia de materiales – Vigas: Sabemos calcular: Momentos y axiles + Deformada Dados: Geometría + Condiciones de apoyo + Cargas Álgebra matricial: Operación con matrices, propiedades

4 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Introducción Método matricial: Generaliza métodos de Maxwell, Mohr, S-XIX Métodos: Peligros: Olvidar la física Específicos por tipologíasGenerales Conocer: Fundamentos Limitaciones Solución Ordenador

5 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Métodos matriciales: relaciones básicas Barra (1D) prisma recto Placas, láminas, sólidos (2D, 3D) Diagrama de Tonti MDREl más usadoEquilibrio MIRMenos sistemático MIFOptimizaciónCompatibilidad

6 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Discretización: barras y nudos Idealización de Resistencia de materiales Representación en función de los extremos Número finito n=GDL Discretizar

7 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Discretización: barras y nudos Grados de libertad (GDL) = número de coordenadas a fijar para que su movimiento quede determinado unívocamente Se pueden definir GDL de desplazamientos o fuerzas

8 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Métodos de compatibilidad y equilibrio Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio

9 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Métodos de compatibilidad y equilibrio Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad Seleccionar n incógnitas hiperestáticas f H Estructura isostática Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio

10 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Métodos de compatibilidad y equilibrio Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad Seleccionar n incógnitas hiperestáticas f H Estructura isostática Equilibrio Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio

11 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Métodos de compatibilidad y equilibrio Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad Seleccionar n incógnitas hiperestáticas f H Estructura isostática Equilibrio Comportamiento Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio

12 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Métodos de compatibilidad y equilibrio Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad Seleccionar n incógnitas hiperestáticas f H Estructura isostática Equilibrio Comportamiento Compatibilidad en todos los vínculos liberados Sistema de ecuaciones f H Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio

13 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Métodos de compatibilidad y equilibrio Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad Seleccionar n incógnitas hiperestáticas f H Estructura isostática Equilibrio Comportamiento Compatibilidad en todos los vínculos liberados Sistema de ecuaciones f H Postproceso u(f H ) Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio

14 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Métodos de compatibilidad y equilibrio Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad Seleccionar n incógnitas hiperestáticas f H Estructura isostática Equilibrio Comportamiento Compatibilidad en todos los vínculos liberados Sistema de ecuaciones f H Postproceso u(f H ) Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio Incógnitas = desplazamientos u Tantas como GDL Compatibilidad Comportamiento Equilibrio en todos los GDL Sistema de ecuaciones u Postproceso: f,p(u)

15 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Matriz de Rigidez y Flexibilidad Concepto: Intuitivamente: Rigidez =fuerza necesaria para producir un movimiento unidad Flexibilidad =movimiento necesario para producir una fuerza unidad k= rigidez del muelle a= flexibilidad del muelle

16 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Matriz de Rigidez y Flexibilidad Generalización a una estructura: Varios GDL forma matricial Matriz de rigidez nxn Matriz de flexibilidad nxn n=GDL

17 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Matriz de Rigidez y Flexibilidad Sentido de K (matriz de rigidez): K ij es la fuerza en i cuando u j =1, u j =0 Consecuencia: diagonal > 0

18 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Sentido de A (matriz de flexibilidad): A ij es el desplazamiento en i cuando f j =1, f j =0 Matriz de Rigidez y Flexibilidad

19 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Matriz de Rigidez y Flexibilidad Sentido de K (matriz de rigidez): Ejemplo:

20 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Matriz de Rigidez y Flexibilidad Sentido de K (matriz de rigidez): Ejemplo:

21 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Matriz de Rigidez y Flexibilidad Sentido de K (matriz de rigidez): Ejemplo: No lo haremos así: automatizaremos Repetir el ejercicio para la matriz de flexibilidad A

22 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Matriz de Rigidez y Flexibilidad Simetría: Teorema de reciprocidad: Definimos los estados A y B: Generalizando:

23 IntroducciónRelacionesDiscretizaciónMétodosMatrices Guillermo Rus Carlborg Resumen Diagrama de Tonti: Discretización: GDL Métodos de rigidez / flexibilidad Matriz de rigidez: K ij es la fuerza en i cuando u j =1, u j =0


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