Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Presentación del tema: "Razones trigonométricas de un ángulo agudo"— Transcripción de la presentación:

1 Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Cateto opuesto y Hipotenusa h 90º a Cateto contiguo x

2 Valores posibles de las razones
Como la hipotenusa siempre es mayor que los catetos: 0 < sen a < 1 0 < cos a < 1 Como los catetos pueden tomar cualquier valor: 0 < tg a < ¥

3 Otras razones trigonométricas.
90º a Cateto contiguo x Cateto opuesto y Hipotenusa h

4 Relación fundamental de la trigonometría
90º a x y h Teorema de Pitágoras Por tanto:

5 Otras relaciones importantes
90º a x y h Por tanto: Estas relaciones permite calcular el resto de las razones trigonométricas de un ángulo agudo conocida una de ellas.

6 Razones trigonométricas de ángulos complementarios.
Dos ángulos son complementarios si suman 90º. Si uno es a el otro es 90º-a. a x y h 90º 90º-a

7 Razones trigonométricas de 45º
Utilizamos un triángulo rectángulo isósceles con catetos iguales a uno 1 Por el teorema de Pitágoras: 45º Por tanto:

8 Razones trigonométricas de 30º y 60º
Ahora utilizamos un triángulo equilátero de lados iguales a 1 60º 1 60º 30º 1 1/2

9 Cuadro resumen 30º 45º 60º p/6 p/4 p/3 seno coseno tangente

10 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante (I).
Consideramos una circunferencia de radio uno. 1 a 1 Para cada ángulo tendremos un punto en la circunferencia de coordenadas x e y 1 y x a Por tanto el seno es la segunda coordenada del punto y el coseno la primera.

11 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante (II).
Los triángulos OPA y OP’A’ son semejantes Representación de la tangente O P’ A A’ 1 a

12 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante. Resumen 1 a

13 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Segundo cuadrante.
1 Seno positivo Coseno negativo Tangente negativa a

14 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Tercer cuadrante.
1 Seno negativo Coseno negativo Tangente positiva a

15 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Cuarto cuadrante.
1 Seno negativo Coseno positivo Tangente negativa a

16 Razones trigonométricas de ángulos entre cuadrantes.
180º 1 0º 90º 270º 360º 0º 90º 180º 270º 360º seno 1 -1 coseno tangente

17 Signo de las razones trigonométricas.
coseno + - seno + + - - tangente + -

18 Valores posibles de las razones.

19 Reducción al primer cuadrante (I)
Reducción al primer cuadrante (I). Ángulos suplementarios (que suman 180º). X Y Si un ángulo mide a su suplementario mide 180º - a a 180º - a P(-x, y) P(x, y) y y sen (180º - a) = sen a a -x x cos (180º - a) = - cos a tg(180º - a ) = - tg a

20 Reducción al primer cuadrante (II). Ángulos que difieren en 180º.
Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide a el otro mide 180º + a X Y 180º + a P(x, y) y sen (180º + a) = - sen a a -x x -y a cos (180º + a) = - cos a P(-x, -y) tg (180º + a )= tg a

21 Reducción al primer cuadrante (III). Ángulos que suman 360º.
Si un ángulo mide a el otro mide 360º-a X Y P(x, y) y sen (360º - a) = - sen a 360º - a a x -y cos (360º - a) = cos a P(x, -y) tg (360º - a) = - tg a

22 Ángulos negativos Y P(x, y) y x -y X P(x, -y)
Si un ángulo mide a su opuesto mide -a X Y P(x, y) y sen (- a) = - sen a a x -y - a cos (- a) = cos a P(x, -y) tg (- a) = - tg a

23 Ángulos mayores de 360º Ejemplo: calcula las razones trigonométricas de 870º 2 870 360 150 870º son 2 vueltas completas más 150º sen( 870º) = sen (150º) = sen( 30º ) = cos ( 870º) = cos (150º) = -cos( 30º ) = tg ( 870º) = tg (150º) = -tg( 30º ) = IES Francisco de los Cobos. Departamento de Matemáticas Antonio Jesús Fernández Rodríguez