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TRIGONOMETRÍA. ETIMOLOGÍA Trigonometría viene de Tri-gonos = tres ángulos = triángulo y de metros = medir Es decir, significa medida de ángulos DEFINICIÓN.

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1 TRIGONOMETRÍA

2 ETIMOLOGÍA Trigonometría viene de Tri-gonos = tres ángulos = triángulo y de metros = medir Es decir, significa medida de ángulos DEFINICIÓN La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos.

3 MEDIDAS DE ÁNGULOS: SISTEMA SEXAGESIMAL SISTEMA CENTESIMAL RADIANES

4 SISTEMA SEXAGESIMAL La circunferencia se divide en 360 partes iguales. Cada una de ellas es un grado sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. En la calculadora aparece con la denominación DEG Notación: 30 grados, 40 minutos y 15 segundos = 30º 40 15

5 RADIANES Un radián es la medida del ángulo central cuyo arco mide lo mismo que el radio de la circunferencia Una circunferencia mide 2 radios y como cada radio da lugar a un radián: 360º equivalen a 2 radianes ¿A cuantos grados sexagesimales equivale un radián? 360º ___________ 2 radx = 360º/2 = 57,29º xº___________ 1 rad

6 SISTEMA CENTESIMAL Cada cuadrante se divide en 100 partes. En la calculadora aparece con la denominación GRA. Actualmente apenas se utiliza.

7 De la misma manera, los siguientes ángulos son equivalentes : 180º ________ rad 90º ________ /2 rad 30º ________ /6 rad 60º ______ 2 /6 =/3 rad

8 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS En un triángulo rectángulo definimos las siguientes razones trigonométricas del ángulo agudo

9 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Así mismo definimos las razones trigonométricas recíprocas:

10 Construimos triángulos rectángulos semejantes que contengan al ángulo Según el Teorema de Thales sus lados son proporcionales, por lo que: Las razones trigonométricas de un ángulo son independientes del triángulo en el que se calculen. Diremos que las razones trigonométricas son propias de cada ángulo, lo califican y lo diferencian de los demás ángulos.

11 De todos los triángulos rectángulos semejantes, elegimos el de hipotenusa la unidad. De esta manera, el seno y el coseno se identifican con la longitud de los catetos: R = 1 Circunferencia goniométrica

12 Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo de hipotenusa la unidad: sen 2cos 2 = 1 IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS Como consecuencia de la primera igualdad se cumple: -1 sen 1 -1 cos 1 Dividiendo ambos miembros entre sen 2 a: 1 + cotg 2 a = cosec 2 a Y dividiendo entre cos 2 a: tg 2 a + 1 = sec 2 a

13 RAZONES DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES DEL 1 er CUADRANTE ÁNGULO DE 60º Consideremos un triángulo equilátero de lado la unidad. Calculamos su altura h aplicando Pitágoras: Hallamos las razones del ángulo de 60º en el triángulo rectángulo de la izquierda:

14 ÁNGULO DE 30º Consideramos el mismo triángulo rectángulo que para el ángulo de 60º ya que su complementario es el de 30º:

15 ÁNGULO DE 45º Consideramos un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa la unidad Aplicando Pitágoras: Las razones del ángulo de 45º serán:

16 R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º sen cos sen 1 Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto sen 90º = 1 A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0 cos 90º = 0 Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir, sen 0º = 0 cos 0º = 1 radio=1 1 P(x,y) O X Y

17 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 90º, 180º Y 270º Ángulo coseno seno tangente 0º100 90º01 180º º0

18 SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. X Y O 1 a A sen cos sen cos sen cos sen cos bB g C d D El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a __ SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO _ _ + +

19 TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. X Y O 1 A a tg cotg tg cotg tg cotg tg cotg g C d D B b La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor. + _ + _ TANGENTE Y COTANGENTE

20 REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 1 er CUADRANTE a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS º º - sen = cos ( 90º - ) cos = sen ( 90º - ) tg = ctg ( 90º - )

21 º º - sen (180º - ) = sen tg (180º - ) = - tg cos (180º - ) = - cos b1) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS b) ÁNGULOS DEL SEGUNDO CUADRANTE GEOGEBRA HTML

22 b2) ÁNGULOS y /2 + sen ( /2 + ) = cos cos ( /2 + ) = - sen tg ( /2 + ) = - cotg

23 c) ÁNGULOS DEL TERCER CUADRANTE c1) y 180º + sen (180º + ) = - sen cos (180º + ) = - cos tg (180º + ) = tg c2) y sen (270º-) = - cos cos (270º-) = - sen a tg (270º-a) = cotg a

24 d) ÁNGULOS DEL CUARTO CUADRANTE d1) y d2) y 360 – o sen (270 + ) = - cos cos (270 + ) = sen tg (270 + ) = - ctg sen (360º - ) = - sen cos (360º - ) = cos tg (360º - ) = - tg

25 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.FUNCIÓN SENO 2.FUNCIÓN COSENO 3.FUNCIÓN TANGENTE

26 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x a sen a

27 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x

28 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x a COS a

29 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x

30 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x

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32 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS y = sen x y = cos x y = tg x

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