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Unidad 3 Gráfica de las funciones trigonométricas Ing. Arnoldo Campillo Borrego. Autor.

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1 Unidad 3 Gráfica de las funciones trigonométricas Ing. Arnoldo Campillo Borrego. Autor.

2 Se llama círculo trigonométrico aquel cuyo radio vale la unidad. A continuación construirás las razones trigonométricas seno y coseno de manera más general en el plano coordenado, a partir de tomar ángulos desde el círculo de radio 1, tomando el vértice del ángulo como el origen. Si se construye la circunferencia de radio 1 y se toma cualquier ángulo agudo a partir del eje x, es decir, que el ángulo termina en el primer cuadrante, como se muestra en la figura: Si se quiere calcular el seno del ángulo se puede hacer a partir de la definición del triángulo rectángulo. sen α = _cateto opuesto_ = altura = 1 hipotenusa 1

3 De manera general para los otros cuadrantes se va a definir el seno del ángulo como la altura (con respecto al eje x) del triángulo que tiene por lado el segmento al punto en el que acaba el ángulo sobre la circunferencia de radio 1. Se va a considerar la altura como positiva si está arriba del eje x y como negativa si está abajo. El seno para un ángulo en el segundo cuadrante es positivo porque su altura está por arriba del eje x. El seno en el tercero y cuarto cuadrante es negativo, porque la altura del triángulo está por debajo del eje x.

4 La razón trigonométrica coseno se va a construir de manera muy similar, usando la definición de coseno para el triángulo rectángulo que se forma en el primer cuadrante y generalizándola para los demás cuadrantes. Si se observa la siguiente figura, en el cual se construyó un triángulo rectángulo sobre la circunferencia de radio 1, tomando como hipotenusa el segmento que va del origen al punto donde acaba el ángulo sobre la circunferencia de radio 1. De esta manera se tiene que a partir de la definición de la razón trigonométrica coseno. cos α = cateto adyacente = proyección sobre el eje x = proyección sobre el eje x hipotenusa 1

5 Así, se puede tomar ya está definición para los siguientes cuadrantes, el coseno se definirá como la proyección sobre el eje x del segmento en el que termina el ángulo en la circunferencia de radio 1. En la función coseno, el signo será positivo si se encuentra a la derecha del eje y o negativo si se encuentra a la izquierda de éste. En el cuarto cuadrante el coseno del ángulo es positivo porque la proyección se encuentra a la derecha del eje y En el segundo y tercer cuadrante el coseno es negativo porque la proyección se encuentra a la izquierda del eje y.

6 Sea BCD un triángulo rectángulo, y C una circunferencia de radio 1, si colocamos el lado BC del triángulo sobre el radio de la circunferencia, el lado BD del triángulo interseca a la circunferencia en E´, trazamos un segmento perpendicular al radio que pase poe E´ intersecando al radio en el punto F´, el triángulo OE´F´ es semejante al triángulo BCD. Y las funciones trigonométricas que se obtengan para BCD serán las mismas que para el triángulo que se encuentra en la circunferencia y cuya hipotenusa mide 1. Las razones trigonométricas para un triángulo, cuya hipotenusa mide 1, son iguales para cualquier triángulo semejante.

7 Para obtener las funciones trigonométricas para ángulos no agudos, vas a construir los ángulos sobre el plano coordenado. Al trazar los dos ejes de un plano coordenado, éste queda dividido en cuatro partes, a cada una de las cuales se le llama cuadrante y se le asocia un número romano, que tiene una secuencia contraria a las manecillas del reloj: cuadrante I, cuadrante II, cuadrante III, cuadrante IV.

8 Ángulo de referencia. Observa que en cada uno de los planos coordenados de la imagen que se muestra hay un ángulo agudo que se forma con el eje x y el lado donde termina el ángulo β. A ese ángulo se le llama ángulo de referencia. Las funciones trigonométricas se pueden calcular directamente con los ángulos de referencia (tomándolos siempre como positivos) y a cada función trigonométrica se le asociará un signo dependiendo de ésta y el cuadrante en el que termine el ángulo original. Si los ángulos son menores que 360°. β β β

9 Cuando un ángulo termina en el cuadrante I, su ángulo de referencia es el mismo. Ejemplo. El ángulo de referencia de 45° es 45°. Cuando un ángulo termina en el cuadrante II, su ángulo de referencia es lo que le falta para llegar a 180°, es decir 180° - α. Por ejemplo. Si el ángulo 135°, su ángulo de referencia es 180° - 135° = 45°.

10 Cuando un ángulo termina en el cuadrante III, su ángulo de referencia es lo que se excedió de 180°, es decir, α – 180°. Por ejemplo. Si el ángulo es de 225° su ángulo de referencia es 225° - 180° = 45° Cuando un ángulo termina en el cuadrante IV, su ángulo de referencia es lo que le falta para llegar a 360°, es decir, 360° - α. Por ejemplo. Si el ángulo es de 31225° su ángulo de referencia es 360° - 315° = 45° Si un ángulo excede los 360°, se le resta 360° tantas veces como sea necesario, hasta que quede un ángulo menor de 360°, y dependiendo del cuadrante en el que quede se aplica al ángulo menor de 360° que quedó la regla correspondiente.

11 senocosenotangen te cotangen te secant e cosecant e I II III IV Las funciones trigonométricas para cualquier ángulo se podrán calcular a partir de los ángulos de referencia, ocupando la siguiente tabla de signos para asociar a la función trigonométrica correspondiente, de acuerdo al cuadrante en el que termine el ángulo original. Por ejemplo. Retomando el caso donde 45° es el ángulo de referencia para todos los siguientes ángulos: 45°, 135°, 225° y 315°, se pueden calcular cualesquiera de las funciones trigonométricas tomando en cuenta sólo el signo de la tabla y el valor de la función de 45° respectiva.

12 Ejemplos. sen (135°) Como se encuentra en el segundo cuadrante, buscando en la tabla para la función seno se ve que el signo que se le asocia es: +, así que: sen (135°) = sen (45°) = Por otro lado, cos (225°). Como se encuentra en el tercer cuadrante, buscando en la tabla para la función coseno se ve que el signo que se le asocia es: -, así que: cos (225°) = -cos (45°) = También: tan (315°). Como se encuentra en el cuarto cuadrante buscando en la tabla para la función tangente se ve que el signo que se le asocia es: -, así que: tan (315°) = -tan (45°) = -1 Entonces sólo conociendo las funciones trigonométricas para los ángulos de referencia y utilizando la tabla de los signos para cada cuadrante y cada función trigonométrica, puede calcularse de manera muy sencilla la función trigonométrica que se desee.

13 Ahora construye las funciones trigonométricas, esto se logra siguiendo una regla, que a cada ángulo (medido en radianes) le asocie el valor de una razón trigonométrica. Por ejemplo, a cada ángulo se le asocia el valor de seno que le corresponde. Esta asociación de todos los ángulos posibles asociados al valor de seno correspondiente se le llama función seno y se escribe como f(x) = sen (x). Para cada función se puede construir una tabla en la que cada valor se le asigna el valor dado que le corresponde en la función, la tabla se va a construir de la siguiente manera. En una columna se van a representar los valores del ángulo y en la otra el valor de la función trigonométrica correspondiente, en este caso seno. x (en radianes) 00 π / π /2 1 3 π / π 0 5 π / π /2 7 π / π 0

14 Si cada uno de los valores se representa en el plano ordenado, localizando el valor de x en el eje horizontal x y el valor de f(x) asociado en el eje vertical y se obtienen los siguientes puntos: Puntos de la función seno localizados en el plano coordenado.

15 Además de muchas aplicaciones que tienen las razones trigonométricas, las funciones trigonométricas, por su parte, tienen también otras tantas aplicaciones, una de ellas es el estudio de las ondas. Como las de radio, televisión, rayos x, rayos cósmicos, incluso la luz es una onda. Así como se construyó la función seno se puede construir la función coseno a partir de diferentes valores para el ángulo en el plano coordenado. x (en radianes)f (x) = cos (x) 01 π / π /2 0 3 π / π 5 π / π23π2 0 7 π / π2π 1

16 Si se construye la gráfica para los puntos lo que se obtiene es: Como se puede observar, los puntos localizados de la función coseno tienen un comportamiento muy similar a los de la función seno.

17 Al igual que para las funciones seno y coseno, construyamos la tabla para tangente y a partir de ésta su gráfica. x (en radianes) f (x) = tan (x) - π /2 No definido -2 π / π / π /4 00 π /4 1 π / π / π /2 No definido La función cotangente es parecida a la función tangente. Las funciones secante y cosecante son parecidas entre sí, pero diferentes a las que has visto hasta este momento.

18 Las funciones tienen ciertos comportamientos que ahora se resumen. Si a una función le sumas una constante, toda la función se desplaza hacia arriba (con respecto al eje y) esa cantidad que le sumaste. f (x) = sen (x) y f (x) = sen (x) + 3. Lo mismo si a una función le restas una constante, toda la función se desplaza hacia abajo esa cantidad que le restaste. f (x) = cos (x) y f (x) = cos (x) - 2 Rojo f (x) = sen (x) Azul f (x) = sen (x) + 3 Rojo f (x) = cos (x) Azul f (x) = cos (x) - 2

19 Si una función la multiplicas por una constante n mayor que 1 se amplifica, es como si cada punto aumentara su altura con respecto al eje x, n veces. f (x) = sen (x) y f (x) = 2sen (x). Si la función se multiplica por un valor entre 0 y 1 se contrae, es como si cada punto de la altura de la función fuera jalado hacia abajo tantas veces como el número por el que se multiplico.. f (x) = cos (x) y f (x) = (1/2)cos (x).

20 Por último si la función se multiplica por un número negativo es como si el eje x fuera un espejo y se reflejara. f (x) = sen (x) y f (x) = -sen (x) Ahora te toca practicar, realiza los ejercicios de la actividad No. x

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