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LIMITE LIMITE JAVIER ALVAREZ PRESENTA comandos Temas Limite Limites Laterales Limites Infinitos para x Limites Para x Limites Infinitos.

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2 LIMITE LIMITE JAVIER ALVAREZ PRESENTA comandos

3 Temas Limite Limites Laterales Limites Infinitos para x Limites Para x Limites Infinitos

4 3 LímiteLímite Sea la función y = f(x) cuyo gráfico es el de la figura y deseamos determinar para que valores de x los valores de la función distan de L menos que una cantidad > 0 y arbitrariamente pequeña O sea para que valores entre L - y L + excluido el L - y L + y probablemente el L. En otras palabras deseamos saber para que valores de la x, la distancia entre la y y el valor L es < f(x) – L < [1]

5 4 y x L L + y = f (x) a - 1 a a + 2 a - 1 a a + 2 L Q P

6 5 Para determinar esos valores gráficamente por L + sobre el eje y se traza una paralela al eje x hasta cortar al gráfico de la función en el punto P y por este punto una vertical. De igual modo se procede en L - y obtenemos el intervalo marcado en la figura en donde se cumple la condición [1]. Deseamos ahora determinar un entorno reducido del punto a para el cual sea válida [1]. En este caso hacemos = 1 0 < x - a < [2] Para determinarlo tomo por ejemplo desde x = a para la derecha y la izquierda un valor = 1 tengo un entorno reducido del punto x = a donde se cumple [1].

7 6 Como para el ejemplo de la figura analizando que para cada > 0 fijado es posible determinar un tal que [1] se cumple cuando [2] se cumple, se dice que L es el límite de la función y = f (x) para x a Lím f (x) = L x a y x L L + y = f (x) a - a a + a - a a + L -

8 7 Definición Supongamos tener una función y = f (x) definido en un entorno de un punto de abscisa x = a (excluido el punto a). Diremos que esa función tiene un límite L para x a y se escribe Lím f (x) = L x a Si para cada número > 0 arbitrariamente pequeño es posible determinar un > 0 tal que f(x) – L < para todos los x tales que 0 < x - a <

9 8 Limites laterales Sea la función y = f (x) cuyo gráfico es el de la figura. y = f(x) L2 a x y L1

10 9 Observamos que cuando x se aproxima a a por la izquierda los valores de la función se aproximan a L 1. Decimos entonces que L 1 es el límite de f(x) para x tendiendo a a por la izquierda Lím f (x) = L 1 x a - En lenguaje matemático esto significa que para cada > 0 arbitrariamente pequeño es posible determinar un número > 0 tal que f (x) – L 1 < para todos los x tales que a - < x < a

11 10 Igualmente la figura nos muestra que cuando x se aproxima a a por la derecha los valores de la función se aproximan a L 2. Decimos entonces que L 2 es el límite de f(x) para x tendiendo a a por la derecha Lím f(x) = L 2 x a + En lenguaje matemático esto significa que para cada > 0 arbitrariamente pequeño es posible determinar un número > 0 tal que f (x) – L 2 < para todos los x tales que a < x < a +

12 11 Límites infinitos Supongamos tener la función f (x) cuyo gráfico es el de la figura. Observamos que cuando x se aproxima a a por la derecha los valores de la función aumentan indefinidamente. Decimos entonces que es el límite de f(x) para x tendiendo a a por la derecha. Lím f (x) = + x a + En lenguaje matemático esto significa que para cada M > 0 arbitrariamente grande es posible determinar un número > 0 tal que f(x) > M para todos los x tales que a < x < a +.

13 12 y = f(x) y x M f(x) - M f(x) a a + a +

14 13 Igualmente observamos que cuando x se aproxima a a por la izquierda los valores de la función disminuyen indefinidamente. Decimos entonces que - es el límite de f(x) para x tendiendo a a por la izquierda. Lím f(x) = - x a - En lenguaje matemático esto significa que para cada M > 0 arbitrariamente grande es posible determinar un número > 0 tal que f (x) < - M para todos los x tales que a - < x < a.

15 14 Límite para x tendiendo a infinito Sea una función y = f (x) cuyo gráfico es el de la figura. y x y = f(x) L L + N f(x)

16 15 Observamos que cuando los valores positivos de x crecen indefinidamente, los valores de la función se aproximan a L. Decimos entonces que L es el límite de f (x) para x tendiendo, o sea: Lím f (x) = L x En lenguaje matemático esto significa que para cada > 0 arbitrariamente pequeño es posible determinar un número N > 0 tal que f(x) – L x.

17 16 Límites infinitos para x tendiendo a infinito Sea una función y = f (x) cuyo gráfico es el de la figura. y y = f(x) x M N x f(x)

18 17 Observamos que cuando los valores positivos de x crecen indefinidamente, los valores positivos de la función también crecen indefinidamente L. Decimos entonces que es el límite de f(x) para x tendiendo, o sea: Lím f (x) = x En lenguaje matemático esto significa que para cada M > 0 arbitrariamente grande es posible determinar un número N > 0 tal que f (x) > M para todos los x tales que N > x.

19 Javier Producciones Javier Producciones


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