Método de cofactores para cálculo de determinantes ÁLGEBRA LINEAL Método de cofactores para cálculo de determinantes

CONTENIDO Formulación Pasos para el cálculo Ejemplo Ejemplo desarrollado con la primera fila Ejemplo desarrollado con la segunda columna Conclusiones Sugerencias Ejemplo de matriz de cuarto orden

Formulación En los recursos previos vimos que para calcular un determinante de una matriz de cualquier tamaño podemos usar un método general llamado método de cofactores, tal que: 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = 𝑖=1 𝑛 𝐴 𝑖,𝑗 ∗ 𝑎 𝑖,𝑗 O bien: 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = 𝑗=1 𝑛 𝐴 𝑖,𝑗 ∗ 𝑎 𝑖,𝑗 Analicemos rápidamente los componentes de cada una de las fórmulas. Si miramos con detalle cada una veremos que la única diferencia consiste en el índice de la sumatoria (para la primera fórmula se usa i y para la segunda j). Esto no es más que una referencia a que podemos calcular un determinante usando cualquier fila o cualquier columna a libertad.

Ahora recordaremos que es 𝐴 𝑖,𝑗 : Un cofactor es aquel valor calculado a partir de: 𝐷 𝐴 𝑖,𝑗 =(−1 ) 𝑖+𝑗 𝑒𝑡( 𝑀 𝑖,𝑗 ) Donde 𝑀 𝑖,𝑗 es aquella matriz conocida como menor (simplemente hay que tomar la matriz original y borrar la fila i y la columna j según los subíndices que tengamos) Si miramos con detalle el término (−1 ) 𝑖+𝑗 veremos que simplemente hace referencia a un signo que va a depender de la suma de los subíndices de posición del cofactor (si la suma de estos subíndices es un número par tendremos como resultado +1, de lo contrario -1; ahora bien si multiplicamos cualquier valor por +1 este no cambiará, si por el contrario multiplicamos cualquier valor por -1 este cambiará de signo). Por ejemplo:

Suponga la matriz: 𝑃= −1 −2 3 1 2 0 −1 4 1 Si quisiéramos calcular el cofactor 𝑃 3,2 tendríamos: 𝑃 3,2 = −1 3+2 𝐷𝑒𝑡 −1 3 1 0 = −1 5 (0−3) = −1 −3 =3 El proceso para obtener el menor fue eliminar la fila 3 y la columna 2 de la matriz P: 𝑃= −1 −2 3 1 2 0 −1 4 1 Si miramos los números en negro obtenemos el menor

Retomando la fórmulación para el determinante basta decir que 𝑎 𝑖,𝑗 hace referencia al elemento que está en la posición i,j Por ejemplo en la matriz 𝑃= −1 −2 3 1 2 0 −1 4 1 El elemento 𝑝 1,3 será aquel ubicado en la fila 1 y columna 3 para este caso: 𝑝 1,3 =3 Es muy importante ser estricto en la escritura de lo que es un cofactor (usando letra mayúscula) y lo que es un elemento de una matriz (usando letra minúscula) para no generar confusión

Pasos de cálculo de un determinante con el método de cofactores Se escoge una fila ó una columna a gusto de quien realiza el cálculo Se identifican los elementos de esa fila ó columna Se calculan los cofactores de esa fila ó columna Se multiplica cada cofactor con su correspondiente elemento según la posición Se suman los resultados

Ejemplo Cálcular el determinante de la matriz 𝑃= −1 −2 3 1 2 0 −1 4 1 Para mostrar diferentes posibilidades resolveremos el ejercicio de dos maneras distintas: Primero usaremos la fila 1, luego escogeremos la columna 2 y compararemos los resultados

Solución del ejemplo usando la fila 1 Si escogemos la fila 1 tenemos: 𝑃= −1 −2 3 1 2 0 −1 4 1 Elementos: 𝑝 1,1 =−1, 𝑝 1,2 =−2, 𝑝 1,3 =3 Cofactores: 𝑃 1,1 = −1 1+1 ∗𝐷𝑒𝑡 2 0 4 1 = 1 2−0 =2 𝑃 1,2 = −1 1+2 ∗𝐷𝑒𝑡 1 0 −1 1 = −1 1−0 =−1 𝑃 1,3 = −1 1+3 ∗𝐷𝑒𝑡 1 2 −1 4 = 1 4−(−2) =6

Ahora que identificamos los elementos y cofactores para la primera fila podemos calcular el determinante multiplicando cada elemento con cada cofactor y sumando los resultados: 𝐷𝑒𝑡 𝑃 = 𝑝 1,1 𝑃 1,1 + 𝑝 1,2 𝑃 1,2 + 𝑝 1,3 𝑃 1,3 De tal manera que: 𝐷𝑒𝑡 𝑃 = −1 2 + −2 −1 + 3 6 =−2+2+18=18

Ejemplo usando la segunda columna Ahora veremos como aplicar el método usando columnas: Si escogemos la columna 2 tenemos: 𝑃= −1 −2 3 1 2 0 −1 4 1 Elementos: 𝑝 1,2 =−2, 𝑝 2,2 =2, 𝑝 3,2 =4 Cofactores: 𝑃 1,2 = −1 1+2 ∗𝐷𝑒𝑡 1 0 −1 1 = −1 1−0 =−1 𝑃 2,2 = −1 2+2 ∗𝐷𝑒𝑡 −1 3 −1 1 = 1 −1−(−3) =2 𝑃 3,2 = −1 3+2 ∗𝐷𝑒𝑡 −1 3 1 0 = −1 0−3 =3

Ahora que identificamos los elementos y cofactores para la segunda columna podemos calcular el determinante multiplicando cada elemento con cada cofactor y sumando los resultados: 𝐷𝑒𝑡 𝑃 = 𝑝 1,2 𝑃 1,2 + 𝑝 2,2 𝑃 2,2 + 𝑝 3,2 𝑃 3,2 De tal manera que: 𝐷𝑒𝑡 𝑃 = −2 −1 + 2 2 + 4 3 =2+4+12=18 Como podemos observar es irrelevante la fila o columna que se escoja, el resultado siempre será el mismo

Conclusiones Para calcular un determinante con el método de cofactores básicamente lo que hacemos es convertir un determinante en varios con matrices más pequeñas: Para una matriz de tercer orden convertimos el determinante en tres determinantes de matrices de segundo orden, para una matriz de cuarto orden convertimos el determinante en cuatro matrices de tercer orden y así sucesivamente Cabe decir que este método aunque es un poco extenso es universal (aplica a cualquier matriz cuadrada)

Sugerencias Puede mezclarse el método de cofactores con el método de Sarrus para reducir el tamaño de los procesos en matrices de ordenes superiores al tercero; por ejemplo, si se debe calcular un determinante de cuarto orden puede usarse el método de cofactores para convertir el determinante en cuatro determinantes de tercer orden y luego usar el método de Sarrus en cada una de esas matrices de tercer orden (recuerde que el método de Sarrus es funcional únicamente con matrices de 3x3) Puede escogerse la fila o columna con más ceros de tal manera que no necesiten calcularse los cofactores de los elementos que corresponden a cero (como al final debe multiplicar cada elemento con cada cofactor obtendrá cero en estos productos)

Ejemplo de matriz de cuarto orden Calcule el determinante de la matriz: 𝐾= 1 −2 3 2 3 −1 2 0 1 2 2 1 −1 0 2 3 Para calcular el determinante escogeremos la segunda columna dado que tiene varios ceros, de tal modo que solo necesitemos calcular los cofactores 𝐾 1,2 𝑦 𝐾 2,2

𝐾 1,2 = −1 1+2 𝐷𝑒𝑡 2 −1 2 2 1 1 −1 2 3 = −1 6+8+1+2−4+6 =−19 𝐾 2,2 = −1 2+2 𝐷𝑒𝑡 1 3 2 2 1 1 −1 2 3 = 1 3+8−3+2−2−18 =−10 Por lo tanto: Det (K) = (-2)(-19)+(3)(-10)+0+0= 38-30= 8