Álgebra Superior Matrices Sesión II.

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1 Álgebra Superior Matrices Sesión II

2 Definición de Matriz Si m y n son enteros positivos, entonces una matriz m x n, es un arreglo rectangular en el cual cada elemento aij de la matriz es un número. Una matriz m x n tiene m renglones y n columnas. A =

3 Sistema de Ecuaciones Lineales
Usos de las matrices Se utilizan para representar sistemas de ecuaciones lineales (S.E.L.) con varias incógnitas. Sistema de Ecuaciones Lineales x – 4y + 3z = 5 -x +3y –z = -3 2x - 4z = 6

4 Matriz aumentada: Es la matriz obtenida de los coeficientes y los términos constantes de un S. E. L.

5 Matriz de coeficientes: Es la que contiene solo los coeficientes del S
Matriz de coeficientes: Es la que contiene solo los coeficientes del S.E.L.

6 Operaciones en los Renglones
Intercambiar dos ecuaciones de lugar. Matriz Original: Intercambiando el 1er y 2º renglón:

7 Multiplicación de un renglón por una constante diferente de cero.
Matriz original: Multiplicando por ½ (ó 0.5) el primer renglón:

8 Suma de un múltiplo de un renglón a otro renglón.
Matriz original: 1er renglón por -2, y el resultado se suma al tercero:

9 Solución de un S.E.L. con álgebra

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12 Solución de un S.E.L. con matrices (eliminación Gaussiana)

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14 Y al final reescribimos el S.E.L.
x -2y +3z =9 y +3z =5 z =2 Y lo resolvemos con el método de sustitución.

15 Tarea a) b)

16 Solución de un S.E.L. con matrices (eliminación Gauss - Jordan)
x – 2y +3z = 9 -x +3y = -4 2x - 5y +5z = 17 Matriz:

17 Aplicando la eliminación gaussiana se obtiene la siguiente forma escalonada por renglones:

18 Aplicando nuevamente operaciones elementales se obtiene el valor directo de cada incógnita:
x = 1 y = -1 z = 2

19 Operaciones con Matrices
Dos matrices A y B, son iguales si tienen el mismo orden (m x n) y aij = bij La suma de dos matrices (del mismo orden) se lleva a cabo sumando sus elementos correspondientes: = -5 -7

20 Ejemplos:

21 Multiplicación de un escalar (número) por una matriz y resta de matrices:

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23 Multiplicación de matrices: Si A es una matriz m x n, y B una matriz n x p, entonces el producto AB es una matriz m x p, donde sus términos (cij) serán la suma de los productos de la fila i de A por la columna j de B:

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26 Propiedades de la suma de matrices y la multiplicación por un escalar:
A, B, C: matrices m x n. Y c, d: escalares A + 0 = A (Neutro aditivo) A + (-A) = 0 (Inverso aditivo) A+B = B +A (Conmutatividad) A+ (B+C)= (A+B) + C (Asociatividad) (cd)A = c (dA) 1A = A Si cA = 0 entonces c = 0 ó A = 0 c(A + B)= cA + cB (Distributiva) (c + d)A = cA + dA (Distributiva)

27 Propiedades de la multiplicación de matrices:
A, B, C: matrices m x n. Y c un escalar. A(BC) = (AB)C (Asociatividad) A(B + C) = AB + AC (Distributiva) (A + B)C = AC + BC (Distributiva) c (AB) = (cA)B = A(cB)

28 La multiplicación de matrices NO es conmutativa, es decir AB ≠ BA.

29 La transpuesta de una matriz se forma al escribir sus columnas como renglones. Si A es m x n, entonces su matriz transpuesta At será n x m.

30 Matriz Identidad: … I = ... 1

31 Inversa de una matriz: Una matriz A n x n es invertible (o no singular) si hay una matriz B n x n tal que: AB = BA = I Donde I es la matriz identidad de orden n x n. La matriz B se le llama inversa (multiplicativa) de la matriz A. Una matriz que no tiene inversa se denomina no invertible ( o singular).

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33 Inversa de una matriz con la Eliminación Gauss - Jordan

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