Traslación y vectores en el plano PPTCEG023EM32-A15V1 EM-32 Traslación y vectores en el plano

Aprendizajes esperados Comprender el concepto de vector e identificar los elementos que lo definen (módulo, dirección y sentido). Representar analítica y gráficamente vectores en el plano cartesiano. Determinar el módulo de un vector en el plano cartesiano. Ponderar un vector por un escalar. Aplicar adición y sustracción de vectores, analítica y gráficamente. Comprender la traslación de vectores como adición vectorial y aplicarla en puntos y figuras en el plano cartesiano.

Síntesis de la clase anterior Plano Cartesiano Elementos del Plano Distancia y longitudes Punto medio Ejes Cartesianos, Abscisas y ordenadas Ubicación de puntos en el plano Cuadrantes Origen

Pregunta oficial PSU Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.

Vectores Traslación

1. Vectores Definición Un vector, es un objeto matemático que se define por un módulo o magnitud, una dirección y un sentido. Puede ser representado por una flecha como muestra la figura. L   B A   Módulo o magnitud: Es representado por el tamaño de la flecha y se denota como Iv I o IABI Dirección: Indica la inclinación de la recta L, que se obtiene al prolongar el vector.

1. Vectores Definición Un vector, también puede representarse en el plano cartesiano. Si el origen de un vector es el mismo origen del plano cartesiano, entonces queda determinado por las coordenadas de su extremo v = (x1, y1). X Y y1 x1   origen extremo

Ejemplos y (– 5, 4) (6, 3) x (– 2, – 4) 3 6 4 5 2 1 -2 -3 -4 -5 7 1 5     x 1 5 4 3 7 6 9 8 2 10 -1 -5 -4 -3 -7 -6 -9 -8 -2 -10   (– 2, – 4) -6

1. Vectores Definición Si el origen de un vector no está situado en el origen del plano cartesiano, el vector queda determinado por la diferencia entre su extremo y su origen. Si el origen del vector v es (x1, y1) y su extremo es (x2, y2), entonces: v = (x2 – x1, y2 – y1) X Y x2 y2 y1 x1 origen extremo  

Ejemplos ¿Cómo se puede calcular el módulo de vectores en el plano? y     y 3 6 4 5 2 1 -2 -3 -4 -5 7       (6, 3)   x 1 5 4 3 7 6 9 8 2 10 -1 -5 -4 -3 -7 -6 -2 (– 2, – 4) -6 ¿Cómo se puede calcular el módulo de vectores en el plano?

1. Vectores Módulo o magnitud de un vector El módulo o magnitud de un vector representado en el plano cartesiano, se determina a través de la distancia entre sus extremos. Si el origen del vector v es (x1, y1) y su extremo es (x2, y2), entonces su modulo es:   X Y x2 y2 y1 x1 origen extremo  

Se realiza sumando componente por componente. 1. Vectores Operaciones con vectores Suma de vectores Se realiza sumando componente por componente. Analíticamente Gráficamente Si y son dos vectores, entonces:

Se realiza restando componente por componente. 1. Vectores Operaciones con vectores Resta de vectores Se realiza restando componente por componente. Analíticamente Gráficamente Si y son dos vectores, entonces:

1. Vectores Operaciones con vectores Ponderación Se realiza multiplicando el número por cada una de las componentes del vector. Analíticamente Gráficamente Si y entonces:        

Ejemplos Si , ¿Cómo calcularías ? Si se trata de operaciones con vectores, ¿crees que se debe respetar la prioridad de las operaciones? 5 ∙ ((5, – 3) – ((– 3, 1) + (3, 6))) (Sumamos) 5 ∙ ((5, – 3) – (0, 7)) (Restamos) 5 ∙(5, – 10 ) (Multiplicamos) (25, – 50)

2. Traslación Definición Una traslación describe un desplazamiento en el plano mediante un par ordenado T(a, b), llamado vector traslación. La primera coordenada (a), indica el desplazamiento horizontal y la segunda coordenada (b), indica el desplazamiento vertical. Ejemplo: Si el punto A(– 2,1) se desplaza 3 unidades a la derecha y luego, 2 unidades hacia arriba, el vector traslación aplicado es T(3, 2) y su nueva posición se encontrará en las coordenadas: A´(– 2 + 3, 1 + 2) A´(1, 3)

Ejemplos El punto A se desplaza 3 unidades a la derecha… …y luego, 2 unidades hacia arriba y 3 6 4 5 2 1 -2 -3 -4 7 A´(1, 3)   A(-2, 1) x 1 5 4 3 7 6 2 -1 -5 -4 -3 -7 -6 -2  

2. Traslación Definición Ejemplo: Se puede considerar entonces a una traslación como el movimiento que se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo su forma y tamaño. Correspondería a una aplicación T(a, b) que transforma un punto P(x,y), en otro P´(x + a, y + b ). T(a, b) P(x, y) P´( x + a, y + b ) Ejemplo: T(3, – 5) P(2, 1) P´(2 + 3, 1 + – 5) P´(5, – 4)

2. Traslación Ejemplo: T(3, – 5) P(2, 1) P´(5, – 4) x P P´ -1 1 2 3 4 y x 5 -3 -2 -4 -5 P P´

Pregunta oficial PSU ALTERNATIVA CORRECTA A Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.

Transformaciones isométricas Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 B Transformaciones isométricas Aplicación 2 C Comprensión 3 A 4 ASE 5 6 D 7 8 9 10 11 12

Transformaciones isométricas Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 D Transformaciones isométricas ASE 14 B Aplicación 15 A 16 E 17 18 19 Comprensión 20 21 22 23 24 C 25

Vectores Traslación Síntesis de la clase Suma Resta Ponderación Definición Operaciones con vectores Representación analítica Representación Gráfica Módulo o magnitud Suma Resta Ponderación

Prepara tu próxima clase En la próxima sesión, estudiaremos Rotación y reflexión en el plano

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