@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Tema 8 * 2º B CS

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS2 GRAFICA DE FUNCIONES RACIONALES Tema 10.6 * 2º B CS

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS3 Puntos importantes a tener en cuenta para representar funciones RACIONALES, y = P(x) / Q(x) 1.-Dominio y Asíntotas verticales. 2.-Tendencia y Asíntotas horizontales. 3.-Asíntotas oblicuas. 4.-Máximos y mínimos relativos. 5.-Cortes con los ejes. 6.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 7.-Puntos de inflexión. 8.-Intervalos de concavidad y convexidad. 9.-Simetría. Y en menor medida: 10.-Periodicidad (Muy pocas funciones lo presentan). 11.-Tabla de Valores (En su caso para contener lo calculado). Ejemplo_1

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS4 EJEMPLO_1 Representar la función: y = x / (3 – x) 1.-Asíntota vertical En x = 3 la función no existe. En x = 3 la función presenta una asíntota vertical. Calculamos sus límites laterales: x 3 Lím = = + oo x  – x 3 Lím = = – oo x  – 3 + – x y

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS5 Representar la función: y = x / (3 – x) 2.-Asíntota horizontal x oo y = Lím = = x  oo 3 – x oo Indeterminación Se divide todo entre x 1 1 Lím = = – 1 x  oo 3/x – 1 0 – 1 y= -1 es una asíntota horizontal. 0 3 x y

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS6 Representar la función: y = x / (3 – x) 3.-Asíntota oblicua La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función: f(x) x m = Lím = lím = x  oo x x  oo x (3 – x) m = Lím = = = 0 x  oo 3 – x 3 – oo - oo Al ser la pendiente m=0, la asíntota es horizontal (ya hallada). No hay asíntota oblicua. 0 3 x y

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS7 Representar la función y = x / (3 – x) 4.-Puntos singulares Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = [ 1. (3 – x) – (-1). x ] / (3 – x) 2 y ‘ = [ 3 – x + x ] / (3 – x) 2 = 3 / (3 – x) 2 Igualamos a cero: y ‘ = 0  3 = 0  Imposible. No existen puntos singulares, ni máximo ni mínimo relativo. 5-Cortes con los ejes Con el eje OY: x=0  y = 0 / 3 = 0  Pc(0,0) Con el eje OX: y=0  0= x / (3 – x)  0 = x  Pc(0,0) 0 3 x y Pc(0,0)

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS8 6.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Su derivada era y ‘ = 3 / ( 3 – x) 2 Al no haber puntos singulares, x = 3, que es la A.V., nos delimita los intervalos Los intervalos a estudiar son: (-oo, 3) y (3, oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ’ (0) = 3 / (3 – 0) 2 = 3 / 9 = 1 / 3 > 0  Creciente en (- oo, 3) f ’ ( 6) = 3 / (3 – 6) 2 = 3 / 9 = 1/ 3 > 0  Creciente en (3, + oo) 7.-Puntos de Inflexión: Su derivada era y ‘ = 3 / (3 – x) 2 Hallamos la segunda derivada: y ’’ = [ 0. (3 – x) 2 – 3. 2.(3 – x).( - 1)] / (3 – x) 4 y ’’ = [ 6.(3 – x)] / (3 – x) 4 = 6 / (3 – x) 3 Igualamos a cero: 6 / (3 – x) 3 = 0  6 = 0  Imposible. No existen puntos de inflexión. No procede comprobar que y’’’ <> 0

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS9 Representar la función y = x / (3 – x) 8.-Intervalos de concavidad y convexidad: Su derivada era y ‘ = 3 / (3 – x) 2 Su segunda derivada era: y ’’ = 6 / (3 – x) 3 Como no hay Puntos de Inflexión, los límites de los intervalos vendrán dados por la asíntota vertical x = 3 Los intervalos a estudiar son: (- oo, 3) y (3, + oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ‘’ (0) = 6 / 3 3 > 0  Es Cóncava en (- oo, 3) f ‘’ (6) = 6 / (3 – 6) 3 = 6 / (- 3 3 ) < 0  Es Convexa en (3, + oo)

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS10 Gráfica del Ejemplo_1 Sea la función: y = x / (3 – x) Asíntota vertical: x = 3 Asíntota horizontal: y = - 1 Puntos de corte: Pc (0, 0), Máximo: No hay. Mínimo: No hay. Creciente en (- oo, 3) y en (3, +oo) Punto de Inflexión: No hay. Es çóncava en (- oo, 3) Es convexa en (3, + oo) No presenta simetrías. 0 3 x y Pc(0,0)

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS11 Representar la función: y = (x 2 + 1) / x 1.-Asíntotas verticales En x = 0 la función no existe. x = 0 es una posible asíntota vertical. Calculamos sus límites laterales: x Lím = = - oo x  0 - x 0 - x Lím = = + oo x  0 + x 0 + Y tenemos la tendencia de la función a izquierda y derecha de la asíntota. 0 x y Ejemplo_2

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS12 Representar la función: y = (x 2 + 1) / x 2.-Asíntota horizontal x oo y = Lím = = x  oo x oo Indeterminación Se divide todo entre x x + 1/x oo+0 Lím = = oo x  oo 1 1 No hay asíntota horizontal. 3.-Asíntota oblicua x = x  y = x es la A.O. x x 0 x y

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS13 Representar la función: y = (x 2 + 1) / x 4.-Puntos singulares Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = [ (2.x).x – (x 2 +1).1 ] / x 2 y ‘ = (x 2 – 1 ) / x 2 Igualamos a cero: y ‘ = 0  x 2 – 1 = 0   x 2 = 1  x = 1 y x = -1 x = 1  y = 2 ; x = -1  y = -2 Por la derivada segunda: y “ = [ (2.x).(x 2 ) – (x 2 – 1).(2.x)] / x 4. y “ = 2 / x 3 y “ (-1) = -2 < 0  Máx (-1, -2) y “ (1) = 2 > 0  Mín (1, 2) 5-Cortes con los ejes Con el eje OY: x=0  No hay Con el eje OX: y=0  x = 0  No hay 0 x y

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS14 Representar la función: y = (x 2 + 1) / x 6.-Monotonía: Los valores que limitan los intervalos son: x = -1, x = 0, x = 1 Los intervalos serán: (-oo, -1), (-1, 0), (0, 1) y (1, +oo) La derivada primera era: y ‘ = (x 2 – 1 ) / x 2 y ‘ (-2) = (4 – 1 ) / 4 > 0  Creciente en (-oo, -1) y ‘ (0,5) = (0,25 – 1 ) / 0,25 < 0  Decreciente y ‘ (2) = (4 – 1 ) / 4 > 0  Creciente en (1, +oo) 7.-Puntos de Inflexión: Su derivada segunda era: y “ = 2 / x 3 y “ = 2 / x 3 = 0  2 = 0  No hay x y 2 -2

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS15 Representar la función: y = (x 2 + 1) / x 8.-Concavidad: Su derivada segunda era: y “ = 2 / x 3 Los intervalos serán: (-oo, 0) y (0, +oo) y ” (-2) = 2 / ( – 8) < 0  Convexa en (-oo, 0) y “ (2) = 2 / 8 > 0  Cóncava en (0, +oo) 9.-Simetría: f(-x) = - (x 2 + 1) / x  No hay simetría par. - f(-x) = (x 2 + 1) / x  Hay simetría impar x y 2 -2 Gráfica Ejemplo_2

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS16 Representar la función: y = (x 2 + 3) / (4.x – x 2 ) 1.-Asíntotas verticales En x = 0 y x = 4 la función no existe. x = 0 es una asíntota vertical. x = 4 es una asíntota vertical. Calculamos sus límites laterales: x Lím = = - oo x  x – x – 0 - x Lím = = + oo x  x – x – 0 + Pues en valores muy próximos a 0, 4x es mayor que x x y Ejemplo_3

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS17 Calculamos sus límites laterales: x Lím = = + oo x  x – x – 16 - x Lím = = - oo x  x – x – Asíntota horizontal x oo y =Lím = = Indet x  oo 4.x – x 2 – 00 Se divide todo entre x / x y = Lím = = – 1 x  oo 4 / x – 1 y= -1 es una asíntota horizontal. 0 4 x y

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS18 3.-Asíntota oblicua La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función: f (x) (x 2 + 3) m = Lím = lím = x  oo x x  oo x (4.x – x 2 ) x oo m = Lím = = Indet. x  oo 4.x 2 – x 3 - oo Dividimos todo entre x 3 : m = lím [ ] / [0 – 1] = 0 / (-1) = 0 x  oo Al ser la pendiente m=0, la asíntota es horizontal (ya hallada). No hay asíntota oblicua. 0 4 x y

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS19 4.-Puntos singulares y = (x 2 + 3) / (4.x – x 2 ) Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = [ 2x. (4.x – x 2 ) – (x ).(4 – 2.x ] / (4.x – x 2 ) 2 y ‘ = [ 8.x 2 – 2.x 3 – 4.x x 3 – 6.x – 12 ] / (4.x – x 2 ) 2 y ‘ = ( 4.x 2 – 6.x – 12 ) / (4.x – x 2 ) 2 Igualamos a cero: y ‘ = 0  4.x 2 – 6.x – 12 = 0  2.x 2 – 3.x – 6 = 0 Resolvemos la ecuación: x = [ 3 +/- √ (9 + 48) ] / 4 = (3 +/- 7,55) / 4  x = 2,64 y x = - 1,16 son las abscisas de los puntos singulares. Calculamos sus ordenadas: f(2,64) = (2, ) / (4.2,64 – 2,64 2 ) = 9,97 / 3,59 = 2,77 f(-1,16) = ((-1,16) 2 + 3) / (4.(-1,16) – (-1,16) 2 ) = 4,34 / (-5,98) = -0,72 Los puntos son: (-1,16, -0,72) y (2,64, 2,77)

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS20 5-Cortes con los ejes y = (x 2 + 3) / (4.x – x 2 ) Con el eje OY: x=0  No puede haber al ser asíntota vertical. Con el eje OX: y=0  0 = (x 2 + 3) / (4.x – x 2 ) 0 = x  x 2 = – 3  No hay Nota: Si se ha ido confeccionando la gráfica se verá como la curva debe cortar a la asíntota horizontal a la derecha del máximo relativo calculado. 0 4 x y

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS21 6.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento: y = (x 2 + 3) / (4.x – x 2 ) Su derivada era: y ‘ = ( 4.x 2 – 6.x – 12 ) / (4.x – x 2 ) 2 Los puntos singulares y las asíntotas verticales nos delimita los intervalos Los intervalos a estudiar son: (- oo, -1,16), (-1,16, 0), (0, 2,64), (2,64, 4) y (4, + oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ’ (-2) = ( 4.(-2) 2 – 6.(-2) – 12 ) / (4.(-2) – (-2) 2 ) 2 = 16/144 > 0  Creciente en (- oo, -1,16) f ’ (-1) = ( 4.(-1) 2 – 6.(-1) – 12 ) / (4.(-1) – (-1) 2 ) 2 = -2 / 25 <0  Decreciente en (-1,16, 0) f ’ (2) = ( – 6.2 – 12 ) / (4.2 – 2 2 ) 2 = - 8 /16 < 0  Decreciente en (0, 2,64) f ’ (3) = ( – 6.3 – 12 ) / (4.3 – 3 2 ) 2 = 6 / 9 > 0  Creciente en (2,64, + oo) f ’ (5) = ( – 6.5 – 12 ) / (4.5 – 5 2 ) 2 = 58 / 25 > 0  Creciente en (2,64, + oo)

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS x y Gráfica del Ejemplo_3 Mín Máx Punto de Inflexión