LÍMITES Y SUS PROPIEDADES utpl LÍMITES Y SUS PROPIEDADES v LIC. SUJEY HERRERA RAMOS

DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c y L un número real: Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:

CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES utpl CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES

PROPIEDADES DE UN LÍMITE Teorema 1.1: Límites Básicos: sin b y c son números reales y n un entero positivo.

Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:

Teorema 1.2:Propiedades de los Límites: sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes: Múltiplo Escalar: Suma o Diferencia Producto:

Cociente: Potencias:

Ejemplo: Límite de un Polinomio

Teorema 1.3:Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real: Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0 tenemos

Ejemplo: Límite de una Función racional Como el denominador no es 0 cuando x=1

Teorema 1.4:Límite de una Función radical Si n es un entero positivo: Para toda c si n es impar c > si n es par

Teorema 1.5 Límite de una Función Compuesta Si f y g son funciones tales que: y Entonces:

Teorema 1.6. Límites de funciones trigonométricas Sea c un número real:

utpl Ejemplos Revisar el libro en pag. 63 hay una tenica de cancelacion cuando el límite del denomidaor es 0

CONTINUIDAD DE LÍMITES LATERALES O UNILATERALES utpl CONTINUIDAD DE LÍMITES LATERALES O UNILATERALES

Definición de Continuidad Continuidad en un Punto: una función f es continua en c si se satisfacen:

Continuidad en un Intervalo Abierto: si es continua en cada punto del Intervalo. Una función continua en la recta de los números reales enteros (-∞,∞) es continua en todas partes.

Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función. Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido

Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función. Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido

Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función. Aplicando el Teorema de funciones trigonométricas se concluye que f es continua en todo su dominio (-∞,∞)

Ejemplo límite Lateral Encontrar el límite de cuando x se aproxima a -2 por la derecha

Teorema 1.10 Existencia de un límite Si f es una función y c y L son números reales, el límite de f(x) cuando x se aproxima a c es L si y sólo sí:

Definición de Continuidad en un Intervalo cerrado Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el Intervalo abierto (a,b)n La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b

Ejemplo Continuidad en un Intervalo cerrado Analizar la continuidad de Se concluye que f es continua en [-1,1] Continua por la derecha Continua por la izquierda

Teorema 1.11 Propiedades de la Continuidad Si b es un número real y f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes también son continuas en c: Múltiplo escalar: bf Suma o Diferencia: f ± g Producto: fg Cociente: f , si g(c) ≠ 0 g

utpl LÍMITES INFINITOS

Definición de Límites Infinitos Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c). La expresión

Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica

Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica

Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica

Teorema 1.15 Propiedades de los Límites Infinitos Sean c y L números reales, y f y g funciones tales que: Suma o Diferencia: Producto:

Cociente:

Ejemplo: Cálculo de Límites Calcular los siguientes límites