Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden CARDINALES INACCESIBLES Lavinia Picollo Profesores Eduardo Alejandro Barrio y Javier Castro Albano 1er cuatrimestre de 2008 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden ¿Qué es un cardinal? Si A es un conjunto finito, el cardinal de A es el número de elementos de A. Si A es un conjunto infinito, su cardinal es: si es biyeccionable con N si es biyeccionable con Pot(N) si es biyeccionable con Pot(Pot(N)) … Obtenemos así una jerarquía infinita: Por el Teorema de Cantor, si A es un conjunto, Dos conjuntos tienen el mismo cardinal sii existe una función biyectiva entre ambos.

Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Operaciones entre cardinales Suma: Multiplicación: Potenciación: Para todo cardinal infinito α: α + α = α 1 2 3 4 5 6 … α . α = α La suma y la multiplicación entre cardinales son asociativas, conmutativas y distributivas una respecto de la otra α + n = α α + n = α αα ≠ α

Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden ¿Qué es un cardinal accesible? ¿Qué es un cardinal inaccesible? Un cardinal accesible es aquel que se obtiene como resultado de la adición, multiplicación o potenciación de cardinales que involucre únicamente cardinales menores a él mismo. Todos los cardinales finitos son accesibles es accesible: Un cardinal k es inaccesible sii no puede obtenerse a partir de las operaciones básicas entre cardinales utilizando únicamente cardinales menores a él mismo. Todos los cardinales de la jerarquía anterior son accesibles.

Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Cardinales inaccesibles en ZFC Su existencia queda establecida por la introducción del Axioma de Cardinales Inaccesibles a ZFC: “Existen los cardinales inaccesibles”. ZF tiene un axioma que afirma que existen conjuntos infinitos. Sin este axioma, el sistema es equivalente a la aritmética de Peano. Agregándolo sucede lo siguiente: ZF├ AP ZF├ Con(AP) Si AP es consistente, por el segundo teorema de Gödel, no puede demostrar su propia consistencia. Esto muestra que ZF es más potente que AP. Del mismo modo, si se agrega ACI a ZF se sigue que: ZFACI├ ZF ZFACI├ Con(ZF) Si ZF es consistente, por el segundo teorema de Gödel, no puede demostrar su propia consistencia. Esto muestra que ZFACI es más potente que ZF.

Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Otros grandes cardinales Es posible postular la existencia de cardinales aún mayores, llamados usualmente “Cardinales Medibles”. Nuevamente, se los introduce a través del Axioma de Cardinales Medibles: “Existen los cardinales medibles” (Si k es medible entonces es inaccesible y hay k cardinales inaccesibles menores a él). Los axiomas de grandes cardinales dan lugar a una jerarquía de teorías, cada una de las cuales puede demostrar la consistencia de todas las que están por debajo de ella.

Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden El Principio de Reflexión Principio de Reflexión: ZF demuestra que para cualesquiera conjuntos y Vβ╞ sii V ╞ . “Toda fórmula verdadera en V es verdadera ya en Vβ para muchos ordinales β”. Lo que es verdadero en el Universo Conjuntista también lo es es un segmento del mismo. Si se pudiese hacer esto con las infinitas fórmulas que son los axiomas ZF mostraría su propia consistencia, pero ello no es posible, por los teoremas de Gödel. Los axiomas de grandes cardinales son principios de reflexión que hacen esto para la teoría de conjuntos que no los contiene.