Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

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2 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

3 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Alfred Tarski On the concept of logical consequence Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Tres enfoques acerca de la noción de interpretación

4 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Condición de adecuación para un análisis de la noción de consecuencia lógica Condición (F): Si K S, el argumento de K a X tiene la siguiente propiedad: (F) Si, en las oraciones del conjunto K y en la oración X, las constantes aparte de las constantes puramente lógicas son sustituidas por cualesquiera otras constantes (con los mismos signos siempre sustituidos por los mismos signos), y si llamamos K ' al conjunto así obtenido a partir de K, y X ' a la oración obtenida a partir de X, entonces la oración X' debe ser verdadera dado solamente que todas las oraciones de K' sean verdaderas (Tarski (1936), p. 415).

5 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Tres enfoques acerca de la noción de interpretación (i) como substituciónreinterpretar reemplazando una constante por otra en el contexto de una oración T(Alfred)TxT(John) Formula cerradaFunción oracionalNueva Fórmula cerrada (ii) como asignación Asignar objetos apropiados (extensiones) a las constantes no lógicas de L Reinterpretar la función oracional asociada con la fórmula cerrada de manera tal que se asigne un valor apropiado (objeto a las constantes de individuos y conjuntos a los predicados) a cada constante no lógica de L (A) con dominio fijola asignación se hace a partir de un único dominio de objetos (B) con dominio variable la asignación se hace a partir de diferentes dominios de objetos

6 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (1) Dos argumentos (no necesariamente distintos) tienen la misma forma cuando son obtenibles el uno a partir del otro sustituyendo de manera uniforme constantes no lógicas por constantes no lógicas. (2) La propiedad de formalidad dice que si un argumento es lógicamente correcto entonces todo argumento de la misma forma lo es también. De (1) y (2) se sigue que todo argumento lógicamente correcto satisface la condición (F).

7 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales ¿Es posible ofrecer la condición (F) como definición de la relación de consecuencia lógica? El enfoque substutucional propone tal cosa. Tarski: No, porque la condición (F) puede satisfacerse de hecho meramente porque el lenguaje no posea un número suficiente de constantes extra-lógicas. La condición (F) podría ser considerada como suficiente para que la oración X se siga del conjunto K sólo si los nombres de todos los objetos posibles aparecieran en el lenguaje en cuestión. Esta suposición, sin embargo, nunca puede darse (Tarski (1936), pp. 415-416). Hay que tener en cuenta que hay una cantidad no numerable de conjuntos de números, pero en los lenguajes de primer orden sólo hay una cantidad numerable de constantes.

8 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Argumento contra la tesis de que (F) pueda ser suficiente (F) no captura el componente modal de la noción intuitiva de consecuencia Es concebible que sea posible interpretar las constantes no lógicas de un argumento por medio de ciertos objetos (individuos, conjuntos, etc.) de manera que las premisas así reinterpretadas sean verdaderas y la conclusión así reinterpretada sea falsa, y que sin embargo (algunos de) esos objetos no estén denotados por constantes no lógicas del lenguaje que está siendo considerado; en tal caso no diríamos que el argumento es un caso de consecuencia lógica, a pesar de que satisfaría la condición (F).

9 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Tenemos dos predicados monádicos N y T, cuyas interpretaciones pretendidas son ser un hombre y ser un teórico de modelos Supongamos que aplicamos el proceso de reemplazo a x(Nx Tenemos sólo dos interpretaciones posibles: (i) todos son hombres (ii) todos son teóricos de modelos Ya tenemos dentro sólo tres constantes individuales Alfred, Rudolf, John, bastaría un L que no tenga a Rudolf como constante (o uno en el que Rudolf tenga como interpretación pretendida a Chang) para que (1) se convierta en una fórmula que sería consecuencia lógica de todo conjunto de premisas.

10 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Propuesta tarskiana : K S cuando toda interpretación en que todas las oraciones de K son verdaderas es una interpretación en que X es verdadera. (Cuando toda interpretación preserva la verdad de las premisas en la conclusión.) Se amplia el requisito expresado por la condición (F) de forma que se incorpore la idea de que un argumento lógicamente correcto no puede ser reinterpretado haciéndose verdaderas las premisas y falsa la conclusión (y no meramente la idea de que no puede ser convertido en un argumento con premisas verdaderas y conclusión falsa sustituyendo constantes por constantes).

11 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Diferencias entre las nociones de verdad y verdad en una interpretación Definiciones absolutas vs definiciones relativas (a un modo de interpretar) Un modo de interpretar es una estructura (compuesta por valores y una función que asigna valores) Estructura de la definición de verdad en una interpretación para un lenguaje finito {s1, s2,..., sn }: conjunto finito de todas las oraciones del lenguaje Definición adecuada de verdad: x es verdadera en una interpretación ssi (x = 's1' y s1 recibe V en esta I ) o (x = 's2' y s2recibe V en esta I ) o (x = 's3' y s3 recibe V en esta I) o... (x = 'sn' y sn recibe V en esta I ) o

12 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Estructura de la definición de verdad para un lenguaje infinito con infinitas oraciones elementales. - Empleo de técnicas recursivas en su definición de verdad - Identificar los mecanismos finitos generadores de infinitas oraciones elementales Predicación y Cuantificación (i) Ambos mecanismos dependen de la posibilidad de reconocer expresiones suboracionales de categorías distintas (términos singulares y predicados) (ii) Ya que el número de oraciones es infinito y con cualquier conjunto finito de ellas se pueden formar infinitos predicados complejos (como Hx. Hy, Hx. Hy. Hz, …) que a su vez puedan ser cumplidos (o no) por un número potencialmente infinito de objetos, el lenguaje debe contar con algún procedimiento para expresar o anterior. Ese procedimiento es el de postular un número infinito de variables. x, y, z. (iii) Como hay predicados relacionales n- ádicos, es importante que los objetos que sean utilizados tengan un orden secuencial infinito (en el caso en que los objetos que se utilicen para interpretar sean infinitos).

13 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales La secuencia finita f de objetos satisface el predicado x 2 x 3 sss el objeto ubicado en el segundo lugar de la secuencia f tiene con el objeto ubicado en el tercer lugar de la secuencia. Si x 2 x 3 tiene como interpretación pretendida x 2 es discípulo de x 3 la secuencia f no satisface la función formular x 2 x 3 En cambio, lo hace la secuencia g Para permitir que los cuantificadores hablen acerca de conjuntos infinitos, es indispensable tener el siguiente concepto La secuencia infinita f de objetos satisface el predicado

14 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales El Concepto de Satisfacción - Construir un concepto más general que el de verdad (que sea aplicable tanto a oraciones como a oraciones abiertas) a partir del cual definir verdad 1.- T(Alfred)Tx [x/Alfred] Oracion cerradaFuncion oracional 2. La interpretacion I sat T(Alfred) con respecto f sss el objeto que esta I asigna a Alfred sat Tx Hay distintas I para T(Alfred) I1= TarskiI2= EtchemendyI3= el 1 3. Generalizacion Tx La I sat T(Alfred) con respecto de f sss el objeto que I asigna al nombre Alfred y el conjunto que asigna a T sat Tx Nuevamente, hay distintas I para T(Alfred) 4.- C(John, Alfred) La I sat C (John, Alfred) con respecto de f sss el objeto que I asigna al nombre John y el que asigna al nombre Alfred, ordenados… Sat Cxy x 1 T x 1 La I sat x 1 T x 1 con respecto de f sss Hay una secuencia g identica a f, salvo en el primer lugar que satisface T x 1

15 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Definición: La interpretación I Sat la función oracional X sss la I Sat la función formular con respecto a toda secuencia f que asigna valores a las variables de L. Observaciones: Las interpretaciones se utilizan para asignar valores a las constantes no lógicas de L Las secuencias se utilizan para asignar valores temporales a las variables que aparecen en las funciones formulares. Un L que no contenga cuantificadores no necesita de secuencias Para las fórmulas cerradas vale que si una secuencia la satisface, la satisfacen todos las secuencias. Las fórmulas abiertas pueden ser satisfechas por algunas secuencias y no serlo por otras.

16 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Mario Gómez Torrente Forma y Modalidad (2002) Cap. 4.

17 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Nociones Interpretación de L Secuencia arbitraria que asigna objetos apropiados a las constantes no lógicas de L - un objeto singular a cada una de las constantes, - un conjunto de objetos singulares a N y a T - una relación binaria (o mejor, un conjunto de pares ordenados) entre objetos singulares a C. Una función oracional O' de una oración O es el resultado de sustituir las constantes no lógicas que aparecen en O de una manera uniforme por variables correspondientes de los tipos apropiados (y diferentes de las variables ya existentes en el lenguaje). Por ejemplo, la función oracional determinada por la oración x(Nx ¬Cx(Alfred)) sería la expresión x(Px ¬Yxy) (en la cual P, Y y y son variables nuevas). función formular, es forma análoga a la función oracional, salvo que ahora O puede ser una fórmula abierta. Las funciones oracionales de oraciones de L no serán en general oraciones, y por tanto no verificarán siempre la propiedad de ser verdaderas o falsas. Pero en cambio sí serán siempre verdaderas o falsas con respecto a interpretaciones de L; o, como Tarski dice, serán satisfechas o no por interpretaciones de L.

18 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Propuesta tarskiana : (Simplificación de la Definición de Gómez-Torrente) Decimos que la interpretación satisface la función formular X con respecto a una secuencia f si y sólo si: Fórmulas atómicas: ( ) (i) X es Txn (para algún n) y f(xn) A; o X es Hxn (para algún n) y f(xn) A o X es T(Alfred), Alfred se interpreta como Tarski y la interpretación de Alfred A; (ii) X es Cxnxm (para algunos m y n) y R; o X es C(Alfred), (Alfred) y R; o (iii) X es xn=xm (para algunos m y n) y f(xn)=f(xm) o X es Alfred=Alfred; o Fórmulas Moleculares ( ) hay una función formular Y tal que X es ¬Y y no satisface Y con respecto a la secuencia f; o ( ) hay funciones formulares Y y Z tales que X es (Y Z) y o bien no satisface Y con respecto a la secuencia f o satisface Z con respecto a la secuencia f; o, por último, ( ) hay una función formular Y y un objeto o ubicado en el lugar n de la secuencia f, tales que X es xnY y toda secuencia g que asigna valores a las variables (originales) de L y que difiere de f a lo sumo en lo que asigna a xn es tal que satisface Y con respecto a g.

19 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales La interpretación satisface la función oracional X si y sólo si satisface la función formular X con respecto a toda secuencia f que asigna valores a las variables de L. Un modelo de una oración O es una interpretación del lenguaje de O que satisface la función oracional O' determinada por O; De forma más general: Un modelo de un conjunto de oraciones K es una interpretación del lenguaje de las oraciones de K que satisface todas las funciones oracionales determinadas por oraciones de K. La oración X es una (consecuencia lógica)t de las oraciones del conjunto K si y sólo si todo modelo del conjunto K es también un modelo de la oración X (Tarski (1936), p. 417). Una oración O es una (verdad lógica)t si y sólo si toda interpretación del lenguaje de O es un modelo de O.

20 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Analizar la noción de interpretación a través de la de modelo Decir que M es un modelo para la oración O es decir - Que hay una función oracional O´ (resultado de reemplazar en O los términos no lógicos por variables) Y - Que esa función oracional O´ es satisfecha por una secuencia arbitraria de objetos. - En la caracterización original de Tarski: - Hay un único dominio de objetos (el conjunto (quizás infinito) de objetos que conforman la secuencias. - Cuando pasamos de modelo en modelo (como cuando tenemos que decir que para todo modelo de O) reinterpretamos una oración que ya está interpretada (no vamos cambiando su interpretación de modelo en modelo).

21 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales - K S sss todo modelo de K es un modelo de S - Toda secuencia de objetos f que es un modelo de K es un modelo de S - Toda reinterpretación a través de una secuencia f que satisface las funciones oracionales que componen las oraciones de K también lo hace con respecto de la función oracional asociada a S. Ejemplo T(Alfred) Por lo tanto, x 1 T x 1 f g

22 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Propuesta tarskiana 2: (Simplificación de la Definición de Gómez-Torrente, Cap. 6) Decimos que la estructura satisface la función formular X con respecto a una secuencia f (que asigne valores en D a las variables de L) si y sólo si: Interpretación Fórmulas atómicas: ( ) (i) X es Txn (para algún n) y f(xn) A; o X es Hxn (para algún n) y f(xn) A o X es T(Alfred), Alfred se interpreta como Tarski y la interpretación de Alfred A; (ii) X es Cxnxm (para algunos m y n) y R; o X es C(Alfred), (Alfred) y R; o (iii) X es xn=xm (para algunos m y n) y f(xn)=f(xm) o X es Alfred=Alfred; o Fórmulas Moleculares ( ) hay una función formular Y tal que X es ¬Y y no satisface Y con respecto a la secuencia f; o ( ) hay funciones formulares Y y Z tales que X es (Y Z) y o bien no satisface Y con respecto a la secuencia f o satisface Z con respecto a la secuencia f; o, por último, ( ) hay una función formular Y y un objeto o ubicado en el lugar n de la secuencia f, tales que X es xnY y toda secuencia g que asigna valores a las variables (originales) de L y que difiere de f a lo sumo en lo que asigna a xn es tal que satisface Y con respecto a g.

23 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Propuesta tarskiana 2: (Simplificación de la Definición de Gómez-Torrente, Cap. 6) La definición es completamente análoga a la definición de satisfacción dada en el capítulo 4. Únicamente se modifica el restringir el recorrido de las secuencias (de valores de las variables de L) al Universo D de la estructura dada. Definiciones: La estructura satisface la función oracional X si y sólo si satisface la función formular X con respecto a toda secuencia f que asigna valores en U a las variables de LAr. Una estructura modelo de un conjunto de oraciones K es una estructura para el lenguaje de las oraciones de K que satisface todas las funciones oracionales determinadas por oraciones de K. (CLT) Una oración O es una (consecuencia lógica)T de un conjunto de oraciones K si y sólo si toda estructura modelo del conjunto K es también una estructura modelo de la oración O.