AXIOMATIZACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (IN) 1 Axiomas / Postulados Definiciones Aritmética de IN Cuatro postulados de Peano Propiedades (teoremas)

Presentación del tema: "AXIOMATIZACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (IN) 1 Axiomas / Postulados Definiciones Aritmética de IN Cuatro postulados de Peano Propiedades (teoremas)"— Transcripción de la presentación:

1 AXIOMATIZACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (IN) 1 Axiomas / Postulados Definiciones Aritmética de IN Cuatro postulados de Peano Propiedades (teoremas) Definiciones 1858 - 1932 Giuseppe Peano

2 1858 - 1932 1880 Profesor – investigador en la Universidad de Turín 1886 Profesor Academia Militar de Turín 1889 Arithmetices principia, nova methodo exposita 1891 Funda la Rivista di Matematica 1895 – 1908 Formulario mathematico “Buscando la precisión del razonamiento, utilizaba grandes dosis de simbolismo. Así,  significa pertenerce a;  significa implica; N denota la clase de los números naturales, y a+ el número natural que viene a continuación de a” (Kline, 2012, p. 1304) “Peano utilizó este simbolismo en su presentación de todas las matemáticas (…) y también en sus clases, lo que provocó una revuelta de los estudiantes. Trató entonces de satisfacerles aprobándoles a todos, pero esto no funcionó, y fue obligado a renunciar a su puesto de profesor en la academia militar” (Idem) Giuseppe Peano 2

3 1858 - 1932 1880 Profesor – investigador en la Universidad de Turín 1886 Profesor Academia Militar de Turín 1889 Arithmetices principia, nova methodo exposita 1891 Funda la Rivista di Matematica 1895 – 1908 Formulario mathematico 1900 Congreso Internacional de Filosofía (París) 1872 - 1970 Bertrand Russell “El congreso fue el punto de giro de mi vida intelectual, ya que allí conocí a Peano. Ya había oído hablar de él y había leído alguno de sus trabajos, pero no me había tomado la molestia de comprender su notación. En las discusiones del congreso observé que era más preciso que ningún otro y que invariablemente sacaba la mejor parte de cualquier argumentación en la que se embarcaba. Según pasaban los días, decidí que se debía a su lógica matemática.... Se me hizo claro que su notación proporcionaba un instrumento de análisis lógico que había estado buscando durante años...” Giuseppe Peano 3

4 AXIOMATIZACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (IN) Se parte de la existencia de un sistema (IN, *), compuesto por: (i) Un conjunto IN (ii) Una función * : IN  IN; función sucesor. 4 Cuatro postulados de Peano

5 AXIOMATIZACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (IN) estos cuatro postulados Con estos cuatro postulados se puede construir toda la aritmética de los números naturales. NOTACIÓN: El sucesor de 0 es 1: 0* = 1; 1* = 2; 2* = 3, 3* = 4, etc. DEFINICIÓN: m = n* sii n es el antecesor de m; m, n  IN. TEOREMA ii: TEOREMA ii: El antecesor de m de un natural distinto de cero es único. TEOREMA i: TEOREMA i: Todo m  IN – {0} tiene un antecesor. 5

6 AXIOMATIZACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (IN) estos cuatro postulados Con estos cuatro postulados se puede construir toda la aritmética de los números naturales. TEOREMA iv: TEOREMA iv: Si D es un segmento inicial con elemento maximal m*, entonces D-{m*} es un segmento inicial con elemento maximal m. TEOREMA iii: TEOREMA iii: Si D es un segmento inicial con elemento maximal m, entonces D  {m*} es un segmento inicial con elemento maximal m*. 6 DEFINICIÓN: Un conjunto D  IN es un segmento inicial de IN sii cumple (1)0  D (2)Si n  IN es tal que n*  D, entonces n  D. (3)  ! m  D tal que m*  D (m se llama elemento maximal de D) TAREA

7 AXIOMATIZACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (IN) estos cuatro postulados Con estos cuatro postulados se puede construir toda la aritmética de los números naturales. DEFINICIÓN A.1.2: El segmento inicial D m del lema anterior se llamará segmento inicial determinado por m. LEMA A.1.1: LEMA A.1.1: Para cada m  IN, existe un único segmento inicial D m con elemento maximal m. 7