Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Profesores Eduardo Alejandro Barrio y Javier Castro Albano 1er cuatrimestre de 2008 Facultad.

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2 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Profesores Eduardo Alejandro Barrio y Javier Castro Albano 1er cuatrimestre de 2008 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

3 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Niels Henrick Abel (1802-1829). Carta de 1826 a Christoffer Hansteen: … la tremenda oscuridad que uno incuestionablemente encuentra en el análisis. Carece tan absolutamente de todo plan y sistema que resulta extraño que lo hayan estudiado tantas personas. Lo peor es que jamás ha sido tratado rigurosamente. Hay muy pocos teoremas en análisis avanzado que hayan sido demostrados de una manera lógicamente sostenible. Por todas partes se encuentra uno con esta deplorable forma de pasar de lo particular a lo general y es extremadamente curioso que tal procedimiento haya conducido a tan pocas de las llamadas paradojas.

4 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Augustin-Louis Cauchy (1789-1857): Cours danalyse algébrique (1821): En cuanto a los métodos, he tratado de darles todo el rigor que matemáticas se puede pedir

5 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden William R. Hamilton (1805-1865): Pares algebraicos: con un ensayo preliminar sobre el tiempo (1837): La presente teoría de pares se publica para poner de manifiesto ese significado oculto [de los números complejos], y para mostrar, mediante este notable ejemplo, que expresiones que, según los puntos de vista comúnmente aceptados, parecen ser meramente simbólicas e imposibles de ser interpretadas, pueden pasar al mundo de las ideas y adquirir realidad y significado.

6 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Karl Weierstrass (1815-1897) Richard Dedekind (1831-1916) Georg Cantor (1845-1918) Giuseppe Peano (1858-1932)

7 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden El Lenguaje L Expresiones Símbolos lógicos Cuantificador universal de primer orden Cuantificador existencial de primer orden Condicional material Conjunción Disyunción Negación ¬ Símbolos auxiliares Paréntesis (, ) Expresiones no Lógicas Constantes individuales: Tarski, Etchemendy, Quine Variables de individuos: x, y, z, Subíndice (1,...,n) para generar infinitas variables por posposición a x Símbolos de función monádicos 'f1x' (El discípulo de x), 'f2x',..., 'fnx', Predicados diádicos: = (Identidad), C (criticar a) Predicados monádicos T (es un teórico de modelos), N (es hombre) Ejemplos de enunciados de este lenguaje y sus significados son T (a) (Tarski es un teórico de modelos) T (f1 Tarski) (El discípulo de Tarski es un teórico de modelos) x(Nx ¬CxTarski) (Para todo ser humano x, si x es hombre, entonces x no critica a Tarski) x(Nx x 1 (N x 1 Cx x 1 )) (Para todo ser humano x 1 existe otro x 1 tal que x critica a x 1 ).

8 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Definición de término Las constantes individuales, las variables y el resultado de escribir cualquier función n-ádica seguida por n-términos singulares es un término singular del lenguaje. Definición de Fórmula Atómica Las fórmulas atómicas bien formadas son el resultado de escribir cualquier predicado n-ádico seguido por n-términos singulares. Definición Recursiva de FBF Las fórmulas bien formadas son las fórmulas atómicas bien formadas, la negación de cualquier fórmula bien formada, la conjunción (la disyunción, la condicionalización) de dos fórmulas bien formadas cualesquiera, y la cuantificación universal (la cuantificación existencial) de cualquier fórmula bien formada con respecto a alguna variable. Las oraciones son las fórmulas cerradas (fórmulas que no contienen ninguna variable libre).

9 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Lenguaje Set Predicado diádico (Símbolo de identidad) Predicado diádico (Símbolo de Pertenencia) Predicado monádico: C (ser un conjunto) Constantes de individuos a, b (nombran conjuntos o individuos) Variables de individuos: x, y, z, Subíndice (1,...,n) para generar infinitas variables por posposición a x Cuantificador universal de primer orden ( ), Cuantificador existencial de primer orden, ( ), Condicional material ( ), Bicondicional material ( ) Conjunción ( ) Disyunción Negación (¬), Paréntesis ((, )) Variables de individuos: u, v x, y, z, Subíndice (1,...,n) para generar infinitas variables por posposición a x Ejemplos de fórmulas y x (x y Cx) (Para cada conjunto existe la clase a la cual pertenece) u w ( x (x u x w w) (Dos clases que coinciden en sus elementos son la misma clase) Cx y x y (Un conjunto es una clase que es elemento de alguna clase)

10 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Elementos metalingüísticos: Las comillas se utilizan como mecanismos para generar nombres. ' ', ' ' son expresiones de la teoría de conjuntos, y f, g, h son variables de secuencias de objetos. Un caso de una secuencia de objetos podría ser.

11 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Fórmulas de LInterpretación pretendida T (Tarski) (Tarski es un teórico de modelos) T (f1Tarski) (El discípulo de Tarski es un teórico de modelos) x(Nx ¬CxTarski) (Para todo ser humano x, si x es hombre, entonces x no critica a Tarski) x(Nx x 1 (N x 1 Cx x 1 )) (Para todo ser humano x 1 existe otro x 1 tal que x critica a x 1 ). Otros modos de interpretarInterpretación 1Interpretación 2 T (Tarski) 3 un número impar4 es un número par x(Nx ¬CxTarski) (Para todo número natural x, si x es par, entonces x no es mayor que 2)

12 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Modelo de primer orden: - Para determinar el valor de verdad de cualquier oración necesitamos saber de qué estamos hablando. - El dominio de discurso indica acerca de qué estamos hablando y la función de interpretación pone en relación este dominio con el lenguaje. - Un modelo es una estructura conjuntista que sirve para asignar una interpretación a las oraciones de un lenguaje., V M > Toda oración de L debe recibir una interpretación (se le debe asignar un objeto apropiado de D)

13 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Restricción simplificadora: todos los objetos de D tienen nombre Se reduce la verdad en M de x y de x a la verdad en M de [o/x] Sean D: conjunto de entidades I: función que asigna entidades apropiadas de D a las expresiones de L (i) Si c es una constante de L, entonces I(c ) D (ii) Si P es una letra n-aria de L, entonces I(P) D n (si n es 1, su interpretación es un conjunto) [[c/x]] M = reemplace x por o. V M : Función que asigna valores veritativos a las oraciones de L Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de L sobre el dominio D, entonces V M se define como sigue

14 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden (I) [[P n (c 1,..., c n )]] M = 1 sss [[P n ]] M (ii) [[ ¬ ]] M = 1 sss [[ ]] M = 0 (iii) [[ & ]] M = 1 sss [[ ]] M = 1 y [[ ]] M = 1 (iv) [[ x ]] M = 1 sss [[ [c/x] ]] M = 1, para toda constante c de L (v) [[ x ]] M = 1 sss [[ [c/x] ]] M = 1, para alguna constante c de L.

15 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Implicación Lógica S es una implicación lógica de K sss para toda valuación de M, si [[K]] M = 1, entonces [[S]] M = 1 Equivalencia Lógica S y K son lógicamente equivalentes sss para toda valuación de M, [[K]] M = [[S]] M

16 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Modelo Estándar de Segundo Orden: - Un modelo es una estructura conjuntista que sirve para asignar una interpretación a las oraciones de un lenguaje., V M > Sean D: conjunto de entidades I: función que asigna entidades apropiadas de D a las expresiones de L (i) Si c es una constante de L, entonces I(c ) D (ii) Si P es una letra n-aria de L, entonces I(P) D n (si n es 1, su interpretación es un conjunto) [[c/x]] M = reemplace x por c. O la función g asigna el objeto o a la variable x Las propiedades deben interpretarse como subconjuntos del dominio. Y las variables de segundo orden X, Y, ranguean sobre el conjunto de todos los subconjuntos de D (El conunto potencia de D). [[P/X]] M = reemplace X por P. O la función g asigna el objeto subconjunto C a la variable X. I (P) es un subconjunto de (POT(D)) n

17 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden V M : Función que asigna valores veritativos a las oraciones de L Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de L sobre el dominio D, entonces V M se define como sigue (I) [[P n (c 1,..., c n )]] M = 1 sss [[P n ]] M (I´) [[XT)]] Mg = 1 sss < [[ T ]] Mg g (X) (I´´) [[A n (T 1,..., T n )]] M = 1 sss [[A n ]] M (ii) [[ ]] M = 1 sss [[ ]] M = 0 (iii) [[ & ]] M = 1 sss [[ ]] M = 1 y [[ ]] M = 1 (iv) [[ x ]] M = 1 sss [[ [c/x] ]] M = 1, para toda constante c de L (v) [[ x ]] M = 1 sss [[ [c/x] ]] M = 1, para alguna constante c de L. (vi) [[ X ]] M = 1 sss [[ [P/X] ]] M = 1, para toda constante P de L. O (vi´) [[ X ]] Mg = 1 sss [[ [X/E] ]] Mg = 1, para todo E D. (por asignación). (vii) [[ X ]] M = 1 sss [[ [P/X] ]] M = 1, para alguna constante P de L. O (vii´) [[ X ]] Mg = 1 sss [[ [X/E] ]] Mg = 1, para algún E D. (por asignación).