Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Profesores Dr Alberto Moretti Dr Eduardo Alejandro Barrio 2do cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía.

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2 Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Profesores Dr Alberto Moretti Dr Eduardo Alejandro Barrio 2do cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

3 Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Mario Gómez Torrente Forma y Modalidad (2002) Caps. 4, 6 y 7

4 Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Nociones Interpretación de L Secuencia arbitraria que asigna objetos apropiados a las constantes no lógicas de L - un objeto singular a cada una de las constantes, - un conjunto de objetos singulares a N y a T - una relación binaria (o mejor, un conjunto de pares ordenados) entre objetos singulares a C. Una función oracional O' de una oración O es el resultado de sustituir las constantes no lógicas que aparecen en O de una manera uniforme por variables correspondientes de los tipos apropiados (y diferentes de las variables ya existentes en el lenguaje). Por ejemplo, la función oracional determinada por la oración x(Nx ¬Cx(Alfred)) sería la expresión x(Px ¬Yxy) (en la cual P, Y y y son variables nuevas). función formular, es forma análoga a la función oracional, salvo que ahora O puede ser una fórmula abierta. Las funciones oracionales de oraciones de L no serán en general oraciones, y por tanto no verificarán siempre la propiedad de ser verdaderas o falsas. Pero en cambio sí serán siempre verdaderas o falsas con respecto a interpretaciones de L; o, como Tarski dice, serán satisfechas o no por interpretaciones de L.

5 Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Propuesta tarskiana : (Simplificación de la Definición de Gómez-Torrente) Decimos que la interpretación satisface la función formular X con respecto a una secuencia f si y sólo si: Fórmulas atómicas: ( ) (i) X es Txn (para algún n) y f(xn) A; o X es Hxn (para algún n) y f(xn) A o X es T(Alfred), Alfred se interpreta como Tarski y la interpretación de Alfred A; (ii) X es Cxnxm (para algunos m y n) y R; o X es C(Alfred), (Alfred) y R; o (iii) X es xn=xm (para algunos m y n) y f(xn)=f(xm) o X es Alfred=Alfred; o Fórmulas Moleculares ( ) hay una función formular Y tal que X es ¬Y y no satisface Y con respecto a la secuencia f; o ( ) hay funciones formulares Y y Z tales que X es (Y Z) y o bien no satisface Y con respecto a la secuencia f o satisface Z con respecto a la secuencia f; o, por último, ( ) hay una función formular Y y un objeto o ubicado en el lugar n de la secuencia f, tales que X es xnY y toda secuencia g que asigna valores a las variables (originales) de L y que difiere de f a lo sumo en lo que asigna a xn es tal que satisface Y con respecto a g.

6 Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas La interpretación satisface la función oracional X si y sólo si satisface la función formular X con respecto a toda secuencia f que asigna valores a las variables de L. Un modelo de una oración O es una interpretación del lenguaje de O que satisface la función oracional O' determinada por O; De forma más general: Un modelo de un conjunto de oraciones K es una interpretación del lenguaje de las oraciones de K que satisface todas las funciones oracionales determinadas por oraciones de K. La oración X es una (consecuencia lógica)t de las oraciones del conjunto K si y sólo si todo modelo del conjunto K es también un modelo de la oración X (Tarski (1936), p. 417). Una oración O es una (verdad lógica)t si y sólo si toda interpretación del lenguaje de O es un modelo de O.

7 Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Analizar la noción de interpretación a través de la de modelo Decir que M es un modelo para la oración O es decir - Que hay una función oracional O´ (resultado de reemplazar en O los términos no lógicos por variables) Y - Que esa función oracional O´ es satisfecha por una secuencia arbitraria de objetos. - En la caracterización original de Tarski: - Hay un único dominio de objetos (el conjunto (quizás infinito) de objetos que conforman la secuencias. - Cuando pasamos de modelo en modelo (como cuando tenemos que decir que para todo modelo de O) reinterpretamos una oración que ya está interpretada (no vamos cambiando su interpretación de modelo en modelo).

8 Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas - K S sss todo modelo de K es un modelo de S - Toda secuencia de objetos f que es un modelo de K es un modelo de S - Toda reinterpretación a través de una secuencia f que satisface las funciones oracionales que componen las oraciones de K también lo hace con respecto de la función oracional asociada a S. Ejemplo T(Alfred) Por lo tanto, x 1 T x 1 f g

9 Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Propuesta tarskiana 2: (Simplificación de la Definición de Gómez-Torrente, Cap. 6) Decimos que la estructura satisface la función formular X con respecto a una secuencia f (que asigne valores en D a las variables de L) si y sólo si: Interpretación Fórmulas atómicas: ( ) (i) X es Txn (para algún n) y f(xn) A; o X es Hxn (para algún n) y f(xn) A o X es T(Alfred), Alfred se interpreta como Tarski y la interpretación de Alfred A; (ii) X es Cxnxm (para algunos m y n) y R; o X es C(Alfred), (Alfred) y R; o (iii) X es xn=xm (para algunos m y n) y f(xn)=f(xm) o X es Alfred=Alfred; o Fórmulas Moleculares ( ) hay una función formular Y tal que X es ¬Y y no satisface Y con respecto a la secuencia f; o ( ) hay funciones formulares Y y Z tales que X es (Y Z) y o bien no satisface Y con respecto a la secuencia f o satisface Z con respecto a la secuencia f; o, por último, ( ) hay una función formular Y y un objeto o ubicado en el lugar n de la secuencia f, tales que X es xnY y toda secuencia g que asigna valores a las variables (originales) de L y que difiere de f a lo sumo en lo que asigna a xn es tal que satisface Y con respecto a g.

10 Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Propuesta tarskiana 2: (Simplificación de la Definición de Gómez-Torrente, Cap. 6) La definición es completamente análoga a la definición de satisfacción dada en el capítulo 4. Únicamente se modifica el restringir el recorrido de las secuencias (de valores de las variables de L) al Universo D de la estructura dada. Definiciones: La estructura satisface la función oracional X si y sólo si satisface la función formular X con respecto a toda secuencia f que asigna valores en U a las variables de LAr. Una estructura modelo de un conjunto de oraciones K es una estructura para el lenguaje de las oraciones de K que satisface todas las funciones oracionales determinadas por oraciones de K. (CLT) Una oración O es una (consecuencia lógica)T de un conjunto de oraciones K si y sólo si toda estructura modelo del conjunto K es también una estructura modelo de la oración O.

11 Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Cuatro formas de entender modo de interpretar (1) entender modo de interpretar como estructura para ese lenguaje. Si la noción que tenemos en mente de modo de interpretar las constantes no lógicas de un lenguaje es simplemente la noción precisa de estructura tarskiana entonces trivialmente siempre que K t S, se daria que K int S y entonces K implicaría por necesidad lógica a X.

12 Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Otras formas de entender la noción de modo de interpretar (2) Estructura cuyo dominio es una clase (aparición explícita en la estructura de una colección de objetos, que puede variar de estructura en estructura, y que puede ser un conjunto o una clase) Un (modo de interpretar)Cl el lenguaje L es una secuencia donde U es una clase no vacía, a es un... En este sentido, una estructura es un modo de interpretar un lenguaje donde el universo es una colección de objetos del mundo real. La pregunta aquí es si siempre que K t S, entonces K cl S, La respuesta no es inmediata, dado que hay más (modos de interpretar)CoP que estructuras tarskianas

13 Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas (3) Entender modo de interpretar como estructura cuyo dominio es un conjunto de objetos posibles Un (modo de interpretar)CoP el lenguaje es una secuencia donde U es un conjunto no vacío de objetos posibles (todos los cuales existen juntos en un mundo posible m), a es... La pregunta aquí es si siempre que K t S, entonces K conjunto posible S, La respuesta no es inmediata, dado que hay más (modos de interpretar)CoP que estructuras tarskianas

14 Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas (4) Entender modo de interpretar como estructura cuyo dominio es una clase de objetos posibles Un (modo de interpretar)ClP el lenguaje LAr es una secuencia donde U es una clase no vacía de conjuntos e individuos posibles (todos los cuales existen juntos en un mundo posible m), a es... La pregunta correspondiente es si siempre que La pregunta aquí es si siempre que K t S, entonces K clase posible S La respuesta no es inmediata, ya que naturalmente hay incluso más (modos de interpretar)ClP que (modos de interpretar)CoP y que (modos de interpretar)Cl.

15 Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Resultados Toda estructura es o un (modo de interpretar)Cl, o un (modo de interpretar)CoP y un (modo de interpretar)ClP. Para todo lenguaje formal, no hay un argumento que garantice que para todo modo de interpretar exista una estructura tarskiana equivalente.