Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

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2 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

3 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Greg Ray Logical Consequence: a Defense of Tarski

4 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Ray discute las cuatro objeciones de Etchemendy (A)Divergencias entre t y mt Dominio fijo vs DominioVariable (B)Contraejemplos (Ej. Hay al menos dos objetos) (C)La presunta Falacia modal (D)Dependencia de la distinción entre expresiones lógicas y nó lógicas. Y no hay una manera simple de trazar esa distinción.

5 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Objetivos de Ray Argumentar que Etchemendy se equivoca - al atribuirle a Tarski el haber cometido una falacia modal - al atribuirle a Tarski una concepción acerca de la consecuencia que es distinta a la concepción modelo teórica (mt es igual at) - al afirmar que para muchos lenguajes no hay modo de seleccionar la clase de expresiones lógicas que hagan que la definición de Tarski cumpla nuestras intuiciones acerca de la consecuencia.

6 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Ray sostiene que t satisface dos condiciones de adecuación -preserva la verdad de premisas a conclusión -describe a la int como una relación independiente de la interpretación de las constantes lógicas En (F) aparece must weak de hecho no hay (sustitución1) Strong es imposible que haya (sustitución 2) Estrategia de Ray 1.- Una vez establecido el status modal de las afirmaciones de Tarski (weak), mostrar que si la definición de t satisface la condición (F), entonces es preservadora de verdad (en sentido intuitivo) (TEOREMA) 2.- Probar que t es de hecho preservadora de verdad (COROLARIO C) probando que la verdad weak se cumple para t (TEOREMA)

7 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Lista de enunciados incluidos en Ray (CO) Puede ser probado, sobre la base de las definiciones, que toda consecuencia de oraciones verdaderas debe ser verdadera (FM) Puede ser probado, sobre la base de las definiciones, que la relación de consecuencia que se cumpla entre oraciones es completamente independiente de la interpretación de las expresiones no lógicas que ocurran en esas oraciones. Condición de substitución: la relación de consecuencia lógica debe estar únicamente determinada por la forma de las oraciones entre las que se cumpla la relación (TH) Puede probarse, sobre la base de definiciones, que si Kt S, para toda substitución en K y S de las expresiones no lógicas, si K es verdadera, entonces S es verdadera). TEOREMA (T) : Si Kt S, entonces la condición de substitución es necesaria (es decir, para toda substitución en K y S de las expresiones no lógicas, si K es verdadera, entonces S es verdadera) COROLARIO (C )Si Kt S, entonces si todas las oraciones de K son verdaderas, S es verdadera. (t es de hecho preservadora de verdad)

8 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Definición de Ray de F-consecuencia S es una F-consecuencia de K (K t S) ssi Secuencia que satisface K, también satisface A (Para todo modo de interpretar tarskiano) Lista de enunciados para la presunta falacia modal (8) K int S sss F tal que S es una F consecuencia de K (8L) Si K int S, entonces F tal que S es una F consecuencia de K (Existe un modo de interpretación tarskiano, tal que... ) (8R) Si F tal que S es una F consecuencia de K, entonces K int S (La dirección que hay que probar) (9w) Necesariamente (Si K t S, entonces (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) (B) (9s) (Si K t S, entonces necesariamente (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) (A)

9 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (10) Si es necesario que (Si toda K es verdadera, S es verdadera), K int S. (la implicación estricta es suficiente para la consecuencia intuitiva) (11) Si K int S, entonces es necesario que (Si toda K es verdadera, S es verdadera), (la implicación estricta es suficiente para la consecuencia intuitiva) (la implicación estricta es necesaria para la consecuencia intuitiva). (12) Si K int S la verdad de todas las oraciones de K implica estrictamente que S es verdadera (13 de re) (Existe x) x es un modo de interpretar tarskiano tal que siempre que (tal que es necesario que) en ese modo de interpretar tarskiano en el cual S es una consecuencia de K, se da que K int S. (13 de dicto) Es necesario que (Existe x) x es un modo de interpretar tarskiano en el cual si S es una consecuencia de K, se da que K int S

10 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Tesis de Ray: Tarski no cometió ninguna falacia Etchemendy comete dos errores: (i)Malinterpreta el propósito de Tarski (ii)Caracteriza mal la explicación de Tarski

11 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Etchemendy señala que (8R) Si F tal que S es una F consecuencia de K, entonces K int S (La dirección que hay que probar) (8R) Si hay un modo de interpretar tarskiano en el cual S es una consecuencia de K, K int S Etchemendy argumenta que (8R) es falsa. Hay modos de interpretación tarskianos (los de la semántica interpretacional) que no generan casos de K int S Pero, Se pretende que (CO) Puede ser probado, sobre la base de las definiciones, que toda consecuencia de oraciones verdaderas debe ser verdadera construido como (9w) implique (8R) (Falacia modal). (9w) Necesariamente (Si K t S, entonces (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) (B) (9s) (Si K t S, entonces necesariamente (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) (A)

12 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Objeciones de Ray a Etchemendy: (A) (8R) no contiene expresiones modales explícitas. Por lo tanto, no se ve por qué, como afirma Etchemendy, tienen que ser equivalentes (8R) y (9s) (B) Hacerlas equivalentes transforma a la noción de consecuencia tarskiana en una implicación modal estricta. (10) Si es necesario que (Si toda K es verdadera, S es verdadera), K int S. (la implicación estricta es suficiente para la consecuencia intuitiva) (11) Si K int S, entonces es necesario que (Si toda K es verdadera, S es verdadera), (la implicación estricta es suficiente para la consecuencia intuitiva) (la implicación estricta es necesaria para la consecuencia intuitiva). (11) y (12) son esenciales para la formulación de la falacia. Pero, la implicación estricta no es una relación formal. No cumple (F).

13 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (C ) El presunto error de alcance cuantificacional que Ray le atribuye a Etchemendy: Etchemendy: Sólo si se prueba (8R) Si hay un modo de interpretar tarskiano en el cual S es una consecuencia de K, K int S, se establecería la corrección del análisis tarskiano. Ray: es un error pensar que (8R) probaría la corrección del análisis tarskiano, ya que se debería probar algo aún más fuerte (13 de re) x x es un modo de interpretar tarskiano tal que siempre que (tal que es necesario que) en ese modo de interpretar tarskiano en el cual S es una consecuencia de K, se da que K int S, Y no, tal como pide Etchemendy (13 de dicto) Es necesario que x x es un modo de interpretar tarskiano en el cual si S es una consecuencia de K, se da que K int S Del hecho de que haya algunas interpretaciones que no hagan un trabajo correcto no se sigue que ninguna lo haga. (p. 652)

14 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Ray: ¿Cómo interpretar (CO)? (CO) Puede ser probado, sobre la base de las definiciones, que toda consecuencia de oraciones verdaderas debe ser verdadera Fuerza modal es prueba lógico-deductiva. Se puede dar una prueba (apéndice B) deductiva de que toda consecuencia de oraciones verdaderas es verdadera. (preservación de verdad) Formalidad (sustitución en sentido weak) junto con supuesto conjuntista da como resultado la prueba (sentido weak de must)

15 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales William Hanson Ray on Tarski on Logical Consequence

16 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Reconstrucción del Argumento de Ray Hay que probar (8R) Kt S De K se preserva verdad a S (Kint S) Hay un sentido en el que el must se cumple: interpretarlo weak como preservación de verdad para toda substitición Supongamos (i) Kt S Y (ii) De K no se preserva la verdad a S (para cualquier modo de interpretar intuitivo) (iii) Si de K no se preserva la verdad a S, entonces hay un argumento (producto de la substitución) que va de K´ a S´ en el cual K´ es verdadera, y S es falsa (de (ii) ) (iv) Existe una I, tal que I(K) es actualmente verdadera y I(S) es actualmente falsa. (SUPUESTO DE RAY) Representación conjuntista del modo de interpretar intuitivo: Tal interpretación en sentido intuitivo, si existe, tendrá que poder ser representada conjuntisticamente, y por tanto, tendrá algún conjunto no vacío como dominio. Sin embargo, (v) Estas afirmaciones son contradictorias: (i) dice que S es verdadera en toda interpretación tarskiana en la cual todas las oraciones que integran K son verdaderas, pero (iv) dice que hay una I, nominalmente, una que está representando conjuntisticamente el modo de interpretar intuitivo en la cual K es verdadera y S es falsa.

17 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Hanson: el supuesto según el cual, para todo modo de interpretar intuitivo existe un modo de interpretar conjuntista es inadecuado, porque el dominio de todos los individuos frente a los cuales queremos que los miembros de K sean verdaderos y los de S falsos en sentido intuitivo, debe contener TODOS los conjuntos y por lo tanto, ese dominio es demasiado grande como para ser un conjunto. Por eso, el corolario no está probado (no está probado que se preserva verdad en sentido intuitivo).

18 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Réplica de Milton: Es verdad que la TM hace uso de ZFC (donde no hay estas colecciones más grande que los conjuntos). Pero, se pueden agregar a TM clases propias. Una vez que se hace esto, la prueba del corolario (C ) y de (T) es inmune a este tipo de crítica. Réplica de Hanson y McGee: Paradoja de Orayen: no se pueden representar dentro de una TC todos las entidades necesarias para interpretar TC. Supongamos que queremos mostrar que tenemos una definición adecuada de t (una que preserve verdad en sentido de hacerlo para todos los modos intuitivos de interpretar) para esta teoría conjuntista que incluye estas grandes colecciones. Llamemos CT a esta teoría. Para hacerlo tenemos que interpretar por medio de una Semántica esta CT. Esta semántica tiene cuantificadores que hablan acerca de todas las colecciones reconocidas por nuestra CT. Hanson: sólo si estuviéramos seguros de que el dominio de nuestra CT es una de las entidades de las que habla CT, vale la prueba del corolario de Ray. La paradoja de Orayen muestra que esta seguridad no existe. Que el dominio necesario para interpretar CT tiene que ser una colección que no esté en CT.