Lógica - Segundo Cuatrimestre 2009 Argumento de la Diagonal de Cantor Prof. Eduardo Alejandro Barrio Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

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2 Lógica - Segundo Cuatrimestre 2009 Argumento de la Diagonal de Cantor Prof. Eduardo Alejandro Barrio Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

3 Lógica George Cantor (1845 - 1918)

4 Lógica Resultados acerca de conjuntos infinitos: Los conjuntos infinitos no se comportan del mismo modo que los conjuntos finitos. Por ejemplo: El conjunto de los números pares es tan grande como el de los naturales. Agregar el conjunto de los números naturales al conjunto de los impares no agranda el tamaño del conjunto inicial

5 Lógica Medir el tamaño de un conjunto es poner en correspondencia uno a uno (correspondencia biunívoca) todos los elementos de cada conjunto. 2----0 4----1 6----2 8----3 10--4 12--5 ….

6 Lógica Argumentos Diagonales Cantor usa este tipo de argumento para mostrar que hay conjuntos infinitos de distinto tamaño. Dada una lista, una colección de elementos, el método puede ser aplicado a ella para descubrir un conjunto de elementos que no aparece en la lista. Formulaci ó n: Sea R una matriz formada por las colecciones D 1 y D 2 y sea F una relaci ó n diagonal sobre D 1 y D 2. Sea H el contravalor de F. Entonces, H no aparece como una l í nea de R. Sean D 1 y D 2 el conjunto de los n ú meros n á turales y el de nos n ú meros entre 0 y 1 respectivamente. La antiDiagonal H queda definida por una condición especial: Es el número que resulta de alterar cada dígito de la diagonal

7 Lógica Argumentos Diagonales: el argumento de Cantor tiene la siguiente estructura: (I) Supongamos que hay una correspondencia uno a uno (biunívoca) entre los elementos de dos conjuntos infinitos D 1 y D 2. (ii) Entonces es posible construir una lista completa tal que en la primera estén todos los números naturales y en la segunda todos los números reales entre 0 y 1. (iii) Prestemos atención al número real formado por la diagonal del cuadro. Ya que la lista es completa, entonces ese número tiene que estar en la lista en algún lugar. (iv) Considerar ese número asegura una peculiaridad. Ese número comparte con todos los números reales listados (por suposición) un dígito. (v) Consideremos el número antidiagonal formado a partir del número diagonal alterado de manera sistemática cada uno de los dígitos del número diagonal (por ejemplo, cambiando el 9 por 1 y el 1 por 9) (vI) Ese número tiene que estar en la lista, ya que la lista es completa. Pero ese número no puede estar en la lista, ya que por construcción, no puede estarlo. Si hubiera estado en la lista, habría sido alterado en un dígito. Surge una contradicción: el número antidiagonal está y no está en la lista. Por lo tanto la suposición es falsa, Luego no hay una corespondencia uno a uno entre reales y naturales. …….

8 Lógica 1)Prueba de Cantor: No hay una correspondencia biunivoca entre los naturales y los reales. D 2 D 1 012345 … E 1 919911 E 2 911999 E 3 119199 E 4 191919 E 5 919119 E 6 191999 D 1 = conjunto de los enteros positivos D 2 = conjunto de los reales entre 0 y 1.

9 Lógica 1)Prueba de Cantor: No hay una correspondencia biunivoca entre los naturales y los reales. D 2 D 1 012345 … E 1 119911 E 2 991999 E 3 111199 E 4 191119 E 5 919199 E 6 191991 D 1 = conjunto de los enteros positivos D 2 = conjunto de los reales entre 0 y 1.