Variable aleatoria discreta

Variable Aleatoria (v.a.) Variable Aleatoria: Una regla que asocia un número a cada resultado del espacio muestra.

Variable Aleatoria Ejemplo. Se lanzan dos monedas, S = { SS, CC, CS,SC } Si X = Número de caras obtenidas x = 1 2 Notación: X = Variable Aleatoria. x = Sus valores.

Variable aleatoria Ejercicio. Una caja contiene 7 discos, 4 rojos y 3 negros. Se sacan dos discos sin reemplazo. Listar los elementos del espacio muestra y calcular sus probabilidades. Sea X = Número de discos rojos obtenidos en el experimento. ¿Cuáles son los valores x que puede tomar la variable aleatoria X? R: b) x 1 2 f(x) 1/7 4/7 2/7

Variable aleatoria Discretas “Contar” Variables Aleatorias Conjunto finito de valores Conjunto infinito numerable Variables Aleatorias Continuas “Mediciones” Toman valores en un intervalo

Variable aleatoria Ejercicio. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos pueden corresponder a los valores de una variable aleatoria discreta?

Distribución de Probabilidad La función de distribución de probabilidad o función masa de probabilidad (fdp o fmp) para una v.a. discreta se define por f(x) = P(X = x) la probabilidad de que X sea igual a x. Ejemplo: x f(x) = P(X = x) 1 2 1/7 4/7 2/7 , donde X = Número de discos rojos.

Distribución de Probabilidad Puesto que f(x) representa una probabilidad, debe ser congruente con los axiomas de probabilidad: 1.- 0  f(x)  1 2.- ; La suma de todas las probabilidades es 1. ; No hay probabilidades negativas.

Distribución de Probabilidad Ejercicio. Dada la siguiente fdp (función de distribución de probabilidad) Calcula las siguientes probabilidades: x -1 1 4 5 f(x) 0.1 0.2 0.15 0.5 0.05 a) P(X = 1) b) P(X > 1) c) P(X  4) d) P(0.5 < X < 5) e) P(0.5 < X  5)

Distribución de Probabilidad Ejercicio Considere el experimento de lanzar una moneda hasta obtener una cara. a. Define el espacio muestra: S = {C, SC, SSC, SSSC, ….} b. Sea X=Número de intentos para obtener una cara. Determina los valores que puede tomar X. x = {1, 2, 3, 4, ….} c. Determina la fdp (función de probabilidad) de X. Tabular Gráfica Función d. Obtén la probabilidad de obtener cara a lo más en el 3er intento. R: 7/8

Distribución de Probabilidad Ejercicio Experimento: En un juego de póker, se reparten 5 cartas a un participante y se observa el número de ases que obtiene. a. Enumera parte del espacio muestra. b. Sea Y = Número de ases obtenidos. Determina los valores que puede tomar Y. c. Determina la fdp (función de probabilidad) de Y. Tabular Gráfica Función d. Obtén la probabilidad de obtener al menos dos ases. R: 0.0417

Función de Distribución Acumulada En ocasiones nos interesa sumar probabilidades, ¿no existirá una función alternativa para calcular directamente la suma de probabilidades? Sí. Se llama FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA (fda o cda)

Función de Distribución Acumulada La función de distribución acumulada (fda) F(x) de una v. a. discreta, cuya distribución de probabilidad es f(x), se define como,

Función de Distribución Acumulada Ejemplo. Hallar la distribución acumulada F(x) para x f(x) , 1 2 3/28 15/28 10/28 Solución. Debemos subdividir los números reales en intervalos, los cuales tienen como extremos los valores que toma la variable aleatoria: (-,0), [0,1), [1,2), [2, ) ?

Función de Distribución Acumulada x f(x) 1 2 3/28 15/28 10/28

Función de Distribución Acumulada 1 2 x F(x) Su gráfica es

Función de Distribución Acumulada Ejercicio En un lote de mercancía hay 10 artículos, 3 son defectuosos y 7 son buenos. Se extrae una muestra de 4. Sea X = Número de artículos defectuosos en la muestra. Hallar f(x) y graficar. Hallar F(x). b) Solución: a) x 1 2 3 f(x) 0.17 0.5 0.3 0.03

Función de Distribución Acumulada Ejercicio Por una promoción sale una cantidad “sorpresa” de estampitas en un paquete de galletas. Sea X = número de estampitas en un paquete de galletas seleccionado al azar. Hallar f(x) en forma tabular Hallar: f(2) P(X ≤ 4) P(X < 3) P(X > 4) R = b) 0.2; P(X ≤ 4) = 0.67; 0.39; 0.33

Valor esperado x f(x) = P(X = x) 1 2 1/7 3/7 2/7 3 Consideremos que X = número de discos que compra un cliente al azar. x f(x) = P(X = x) 1 2 1/7 3/7 2/7 3 Supongamos que observamos muchos clientes. ¿qué porcentaje esperamos que resultarían con X = 0? ¿qué porcentaje esperamos que resultarían con X = 1? Queremos saber el promedio de discos vendidos por cliente.

Valor esperado x f(x) = P(X = x) 1 2 1/7 3/7 2/7 3 1/7 3/7 2/7 3 Supongamos que observamos 70 clientes, ¿Cuántos clientes se espera que no compren discos? ¿Qué compren 1, 2 o 3 discos?

Valor esperado Valor esperado de una v. a. discreta Sea X una v. a. con distribución de probabilidad f(x). La media o valor esperado de X es,

Valor esperado Ejercicio: Se lanza un dado y sea X = el número obtenido, ¿cuál es el valor esperado de X? R: 3.5

Valor esperado Sea X una v. a. con distribución de probabilidad f(x). La media o valor esperado de la v.a. g(x) es,

Valor esperado Ejercicio: Supongamos que la probabilidad de que la Serie Mundial termine en 4, 5, 6 o 7 juegos es respectivamente. ¿Cuál es el valor esperado del número de juegos en que termina la Serie Mundial? Si la entrada a cada partido es de $40, ¿cuál es el valor esperado del gasto que hará una persona que asistirá a todos los juegos? R = a) 5.8125; b) $232.50

Valor esperado Propiedad del valor esperado

Valor esperado En un juego donde se lanzan dos dados, el participante recibe una cantidad de dinero, según sea la suma que cayeron los dados (si la suma es par) o el doble de la suma que cayeron los dados (si la suma es impar). ¿Cuánto debe pagar el participante para que sea un juego justo? R = $10.50

Varianza Sea X una v.a con distribución de probabilidad f(x) y media m = E(X). La varianza de X es

Varianza Ejercicio: La fdp del número X de cilindros del siguiente automóvil que vaya a afinarse en cierto taller es: Calcule E(X) y V(X). x 4 6 8 f(x) 0.5 0.3 0.2 R = 5.4, 2.44

Varianza Fórmula abreviada. Ejercicio: Calcular V(X) del ejercicio anterior con la fórmula abreviada.

Varianza Propiedad de la varianza

Varianza Ejercicio Una compañía proveedora de productos químicos tiene actualmente en existencia 100 libras de cierto producto, que vende a clientes en lotes de 5 libras. Sea X el número de lotes ordenados por un cliente seleccionado al azar, y suponga que X tiene una fdp: a) Calcule E(X) y V(X). b) Calcule el número esperado de libras sobrantes después de embarcar el pedido y la varianza del número de libras restantes. x 1 2 3 4 f(x) 0.2 0.4 0.3 0.1 R = a) 2.3, 0.81; b) 88.5, 20.25

Experimento BINOMIAL Hay muchos experimentos que cumplen con los siguientes requisitos. El experimento consiste en una secuencia de n intentos. n es fijo. Los intentos son idénticos y cada uno puede resultar en éxito (S) o fracaso (F). Los intentos son independientes, es decir, el resultado de un intento en particular no influye en el resultado de otro intento. La probabilidad p de éxito es constante de un intento a otro. Un experimento así se llama experimento binomial. La variable aleatoria X que sea igual al número de éxitos se llama variable aleatoria binomial. x = { 0, 1, 2, …, n}.

Distribución BINOMIAL Derivación de la distribución binomial Suponga un experimento binomial con: n = 4 intentos. p = probabilidad de éxito en cada intento X = variable aleatoria que representa el número de éxitos en los 4 intentos. Encuentre la distribución de probabilidad de X.

Distribución BINOMIAL x f(x) f(0) = P(X = 0) = P(FFFF) = (1-p)(1-p)(1-p)(1-p) = (1-p)4 1 f(1) = P(X = 1) = P(SFFF  FSFF  FFSF  FFFS) = p (1-p)(1-p)(1-p) + (1-p) p (1-p)(1-p) + (1-p) (1-p) p (1-p) + (1-p) (1-p)(1-p) p = 4p(1-p)3 2 f(2) = P(X = 2) = P(SSFF  SFSF  …  FFSS) = p p (1-p)(1-p) = p2(1-p)3 = 6 p2(1-p)3 3 f(3) = P(X = 3) = P(SSSF  …  FSSS) = p p p (1-p) = p3(1-p) = 4 p3(1-p) 4 f(4) = P(X = 4) = P(SSSS) = p p p p = p4

Distribución BINOMIAL Sea X una v. a. binomial. X ~ Bin(n, p) Su función de probabilidad está dada por:

Distribución BINOMIAL Ejercicio: Un estudiante presenta un examen de falso/verdadero y dado que no conoce el tema decide contestarlo totalmente al azar. El examen consta de 10 preguntas. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste todas las preguntas correctamente? ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen con al menos un 7? R = a) 1/1024; b) 0.1719; c) 0.6563

Distribución BINOMIAL Sólo el 20% de los automovilistas se detienen por completo cuando no hay otros automóviles visibles en un crucero donde hay un semáforo con luz roja en todas direcciones. ¿Cuál es la probabilidad de que, de 4 automovilistas seleccionados al azar… a lo más 2 se detengan por completo? exactamente 2 se detengan por completo? por lo menos 3 se detengan por completo? ¿Cuántos automovilistas, de entre los 4 seleccionados, se espera que se detengan por completo? R: 0.9728, 0.1536, 0.0272, 0.8 autos en promedio