Distribuciones de Probabilidad Discretas Las distribuciones discretas que se tratarán son: 1.Binomial 2.Multinomial 3.Hipergeométrica 4.Hipergeométrica.

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1 Distribuciones de Probabilidad Discretas Las distribuciones discretas que se tratarán son: 1.Binomial 2.Multinomial 3.Hipergeométrica 4.Hipergeométrica generalizada 5.Poisson 6.Aproximación de Poisson a la Binomial 7.Geométrica 8.Binomial Negativa Distribuciòn Binomial Un experimento binomial consta de un conjunto de ensayos repetidos, cada uno de los cuales tiene dos posibles resultados, que suelen denominarse éxito o fracaso. Un ejemplo de dicho ensayo es lanzar una moneda, cuyos resulta- dos posibles son águila o sello. Cada resultado puede considerarse el éxito y el otro fracaso. Un experimento Binomial tiene las siguientes propiedades: 1.- El experimento consta de n ensayos repetidos. 2.- Cada ensayo tiene un resultado que puede clasificarse como éxito o fracaso. 3.- La probabilidad de un éxito, denotada por p, permanece constate de un ensayo a otro. Y la del fracaso, denotada por q, es por lo tanto 1 – p. 4.- Los ensayos repetidos son independientes. X es el número de éxitos obtenido en n ensayos de un experimento binomial. La función distribución de esta variable aleatoria se llama distribución Binomial. Para x éxitos en n intentos independientes, la función distribución binomial está dada por la expresión :

2 Distribuciones de Probabilidad Discretas Donde : p(n,x,p) = probabilidad de obtener en n ensayos x éxitos cuando la probabili- dad de éxito es p. En el caso de sólo dos tipos de objetos, ésta fórmula puede ser substituida por la de combinaciones: La media y la desviación estándar están dadas, respectivamente, por las ecuaciones: Donde: n = número de ensayos (o repeticiones) del experimento p = probabilidad de éxito; q = complemento de p Ejemplo: Se dice que el 75% de los accidentes en una planta, son errores humanos. Si en un período determinado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que: a) 2 de los accidentes se atribuyan a errores humanos b) como máximo 1 de ellos se atribuyan a errores humanos; c) 3 de ellos no Se atribuyan a errores humanos. Solución: a) n = 5 x = número de accidentes debidos a errores humanos. p = p(éxito) = probabilidad de Acc. debido a errores humanos = 0.75. q = p(fracaso) = 1- p = 1-0.75 = 0.25 b) c) x = número de accidentes no debidos a errores humanos. p = p(éxito) = probabilidad de Acc.no se deba a errores humanos = 0.25. q = p(fracaso) = 1- p = 1-0.25 = 0.75

3 Distribuciones de Probabilidad Discretas Distribución multinomial La distribución binomial se generaliza de la siguiente manera. “ Suponga que se divide el espacio muestral S de un experimento E, esto es, s sucesos mutuamente excluyentes A 1, A 2,..., A s con probabilidades respectivas p 1, p 1,..., p s, entonces: En n experimentos repetido, la probabilidad de que A 1, salga k 1 veces, A 2 k 2 veces,..., y A s k s es igual a Donde k 1 + k 2,..., + k s = n nota. Si s = 2, se obtiene la distribución binomial Ejemplo: Se tira un dado 8 veces. Hallar la probabilidad p de obtener 5 y 6 exactamente 2 veces y los otros números exactamente una vez. Ejemplo2: En un lote de producción la probabilidad de que un artículo esté en buen estado es de 0.92, la probabilidad de tenga defectos menores es de 0.06 y la probabilidad de tenga defectos mayores es de 0.02, si se toma una muestra de 15 artículos, ¿cuál es la probabilidad de encontrar 12 artículos buenos,1 con defectos menores y 2 con defectos mayores ?

4 Distribuciones de Probabilidad Discretas Distribución Poisson Un experimento de Poisson es aquel que produce valores numéricos de una variable aleatoria, X, durante un intervalo dado de tiempo o en una región específica. Una variable aleatoria de Poisson X es el número de éxitos de un experimento, y tiene las siguientes características: 1.Se conoce el número promedio de éxitos,, que ocurre en el intervalo de tiempo o región específica dados. 2.La probabilidad de ocurrencia de un solo evento durante un intervalo muy corto de tiempo o en una región pequeña, es directamente proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región, y no depende del número de éxitos que ocurren fuera de dicho intervalo o región específica. 3.La probabilidad de que ocurra más de un éxito en dicho intervalo corto de tiempo o que se encuentre dentro de tal pequeña región es despreciable. La función de distribución de una variable aleatoria de Poisson se llama Distribución de Poisson, y está dada por: t es el número promedio de éxitos que ocurren en un intervalo de tiempo o en la región dados, se le denomina tasa de pequeñas llegadas( y es la media de la distribución de Poisson)

5 Distribuciones de Probabilidad Discretas Ejemplo: Si un banco recibe en promedio,seis cheques sin fondo por día, cuáles son las probabilidades de reciba: a) cuatro cheques sin fondo en un día determinado; b) diez cheques sin fondo en cualquiera de 2 consecutivos? x = variable que define el No. de cheques sin fondo que llegan al banco = 0,1,2,3,...,n. t = 6 cheques sin fondo por día e = 2.718 b) t = 6*2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan en dos días Aproximación de Poisson a la Binomial En este caso se determinarán probabilidades de experimentos binomiales, pero por sus características, es posible aproximarlas con la distribución de Poisson, siendo éstas: n  y p  0 ( es muy pequeña), por lo que: Donde. t es el número esperado de éxitos = tasa promedio n número de repeticiones del experimento p probabilidad de éxito

6 Distribuciones de Probabilidad Discretas Distribuciòn hipergeométrica Los experimentos probabilísticos que tienen este tipo de distribución, tienen las siguientes características: 1.- El experimento consta de n ensayos repetidos. 2.- Estos experimentos tiene más de dos tipos de resultados. 3.- Las probabilidades asociadas a este tipo de resultados no son constantes (la probabilidad de éxito para un ensayo dado, depende de los resultados de ensayos anteriores). 4.- Cada ensayo no es independientes de los demás (se basa en el muestreo que se realiza sin reemplazo) Ejemplo: Se desea encontrar la probabilidad de obtener 3 cartas rojas en cinco extracciones de una baraja de 52 cartas Solución: 1 o. Hay formas de seleccionar las 3 cartas rojas y formas de seleccionar 2 cartas negras en cinco extrac- ciones del producto. 2 o. El número total de formas de seleccionar 5 cartas de las 52 disponibles es. Entonces..p(3r) = Por tanto la fórmula es:

7 Distribuciones de Probabilidad Discretas Distribuciòn hipergeométrica generalizada Los experimentos probabilísticos que tienen este tipo de distribución, tienen las siguientes características: 1.- El experimento consta de n ensayos repetidos. 2.- Estos experimentos tiene más de dos tipos de resultados. 3.- Las probabilidades asociadas a este tipo de resultados no son constantes (la probabilidad de éxito para un ensayo dado, depende de los resultados de ensayos anteriores). 4.- Cada ensayo no es independientes de los demás (se basa en el muestreo que se realiza sin reemplazo) Ejemplo: En un recipiente se encuentra una cantidad “a” de artículos de un tipo; “b” artículos de un segundo tipo y “c” de un tercer tipo, de manera que el número total de artículos es: N = a + b + c. Si se toma una muestra al azar de “n” objetos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener “x” objetos del 1º Tipo, “y” del 2º tipo y “z” del 3° tipo ? Solución: 1.Hay formas de seleccionar “x” artículos tipo “a”,hay formas de seleccionar “y” del tipo “b” y “z” del tipo “c” 1.El número tatal de formas de seleccionar los “n” objetos del total de N artículos es Por lo tanto, la formula para calcular la probabilidad es:

8 Distribuciones de Probabilidad Discretas donde: N = x + y + z = total de objetos a = total de objetos del primer tipo b = total de objetos del segundo tipo c = N-a-b = total de objetos del tercer tipo n = objetos seleccionados en la muestra x = objetos del primer tipo en la muestra y = objetos del segundo tipo en la muestra z = n-x-y = objetos del tercer tipo en la muestra

9 Distribuciones de Continuas La probabilidad de continua se maneja en un intervalo en donde la variable aleatoria puede tomar cualquier valor a lo largo de él. Entre las distribuciones más comunes están: 1.Distribución Normal -Aproximación de la binomial a la Normal -Aproximación de la Poisson a la Normal 2.Distribución Exponencial Distribución Normal Esta distribución queda definida al suavizar un polígono de frecuencia de un histograma. Se obtiene una curva gaussiana también llamada curva normal o campana de Gauss ( por su forma). Esta curva describe tantos conjuntos de datos que suceden en la naturaleza, la industria, y la investigación que en ocasiones es considerada la distribución más importante en estadística. Los parámetros de la curva de Gauss son la media y la desviación estándar o la varianza. En la siguiente figura se presenta la curva y tiene las siguientes propiedades : 1.El máximo ocurre en la media, donde x = 2.La curva es simétrica con respecto al eje vertical que pasa por la media. 3.Eje horizontal la curva se acerca asintomáticamente al eje horizontal 4.El área total bajo la curva es 1. La función que define esta distribución es: 0Z

10 Distribuciones de Continuas La probabilidad en las distribuciones continuas se calcula con la integral: Debido a la dificultad que puede representar integrar y tabular esta función, se define una nueva variable aleatoria z con la expresión: Este valor z, es proporcionado por la tabla de distribución normal; en donde, se manejan (en la parte exterior) los valores de z y en la parte interior, el área correspondiente a ese valor de z. Se dice que z es un valor que se distribuye normalmente con media igual a cero y varianza igual a uno. Por lo general, las tablas dan el área a partir de la media a cualquier valor de interés: Ejemplos: Encontrar el área bajo la curva normal en cada uno de los siguientes casos. Utilizar la tabla. a) Entre z = 0 y z = 1.2 a) b) “ z = -0.73 y z = 0 c)“ z = -1.37 y z = 2.01 d)“ z = 1.13 y z = el área es 0.3849 x Z = 1 z = 0 Z = 1.2 z = 0

11 Distribuciones de Continuas e)Entre z = -1.79 y z = -0.54 f) “ z = 1.13 y z = c) Entre z = -1.37 y z= 2.01 De z = 1.37, el área es 0.4137 De z= 2.01 “ “ 0.4778 Como la campana da el área desde el valor de interés hasta la media o a z=0, entonces,se tiene que sumar el área entre 1.37 y 2.01: Área total = 0.4137 + 0.4778 = 0.8925 d) Entre z = 0.65 y z = 1.26 Z(0.65) = 1.2422 Z(1.26) = 0.3962 El área 0.3962 corresponde de 0 a 1.26 y el 0.2422 va de 0 a 0.65, por tanto el área de interés es igual a 0.3962 - 0.2422 = 0.1540 e) z(-1.79) = 0.4633 z(-0.54)= 0.2054 el área =.4633 -.2054 = 0.2579 f) Entre z = 1.13 y z = Como la curva normal es simétrica y su área total es igual a 1,entonces el área de 0 a es igual a 0.50 y el área de 0 a 1.13 es de 0.3708. El área de interés = 0.50 – 0.3708 z = 1.26 z = 0 z = -1.79 z = 0 z=2.01 Z = 1.37 z = 0.65 z = -0.54 z = 0 z = 1.13

12 Aproximación de la Distribución Normal a la Binomial Muchas distribuciones de probabilidad tienen la forma de una distribución normal; la distribución de probabilidad binomial es una de ellas, particular- mente cuando el número “n” de pruebas en un experimento binomial es grande y “p” no se encuentra demasiado cerca de cero o de uno. En este caso la distribución binomial toma una forma muy aproximada a la curva de la la normal con: · la media igual al número de pruebas en el experimento por la probabilidad de éxito( = np) · una desviación estándar igual · es útil cuando se calculan prob. binomiales para valores grandes de “n” · la manera de mostrar como y porque funciona la aproximación normal es empleando gráficas. · el valor se z: nota: se resta un ½ a x para incluir el rectángulo completo del histograma. Ejemplo: La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad es de 0.4. Si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad,¿cuál es es la probabilidad de que: a) al menos 30 sobrevivan, b) más de 46 sobrevivan y c) menos de 50 no sobrevivan? a) X 1 = 64.5  =60 X= 65 X 1 = 65.5 n = 100 = np = (100)(0.40) = 40 pacientes se recuperan p = p(paciente se recupere) = 0.40x = define el No. Pacientes que se recuperan q = 1-p = 0.60X = 0,1,2,...,100 paciente que se recuperan

13 p(z = -2.14) = 0.4838 p(x>=30) = p(z) + 0.5 = 0.9838 b) p(z = 1.33) = 0.4082 p(x>46) = 0.5 - p(z) = 0.0918 c) p(z = -2.14) = 0.4838 p(x<50) = 0.5 - p(z) = 0.5 - 0.4838 = 0.0162 x = 46.5 = 0 x = 49.5 = 60 = 40 x = 29.5 n = 100 = np = 100(.6) = 60 pacientes no se recuperan p = p(paciente no sobreviva) = 0.60x = define el No. Pacientes que no se recuperan q = 1-p = 0.40x = 0,1,2,...,100 paciente que no se recuperan

14 Aproximación de la Distribución de Poisson a la Normal Debido a que una distribución de Poisson se aproxima a una distribución Binomial y ésta a una distribución Normal, también se puede aproximar una Distribución de Poisson a la Normal. Ejemplo: Si la probabilidad de que una persona sufra una reacción por una inyección de determinado suero es 0.001. Determine la probabilidad de que en 2000 personas, a) exactamente 3 la sufran, y b) más de 2 la tengan. = np = 2000 * 0.001 = 2 p = 0.001 t = = np = 2 p( x = 3) = 0.2186 b) p(x>2) = 0.3632 2.5 3.5 t = 2 2 2.5

15 Distribución Exponencial Esta distribución se utiliza para modelar o elaborar un modelo que represente el tiempo transcurrido hasta la ocurrencia de algún evento. La variable aleatoria continua tiene una distribución exponencial: f(x) = donde >0 0 en cualquier otro caso La media y la varianza están dadas por: Entonces Ejemplo: Suponga que un sistema tiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por la variable “x”, distribuida exponen-- cialmente con el tiempo promedio de falla beta igual a 5. Si 5 de esos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años? Sea “x” el No. de componentes funcionando después de 8 años. a b f(x)