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1 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar VARIABLE ALEATORIA Errores comunes Es frecuente confundir la variable aleatoria con su recorrido. Recorrido: conjunto de posibles valores que puede tomar la variable. Variable aleatoria: función Una variable aleatoria, X, es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral. X: E R Pueden ser: Discretas: si su recorrido es un número finito de valores, que suele ser entero. Continuas: si su recorrido está formado por los infinitos números reales comprendidos en un intervalo. Ejemplo: Lanzar 3 monedas al aire E = {CCC, CC+, C+C, +CC, ++C, +C+, C++, +++} Variable aleatoria Asigna a cada elemento de E el número de caras

2 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Media, esperanza matemática o valor esperado µ = x 1 p 1 + x 2 p 2 + … + x n p n = Σ x i p i Ejemplo: Lanzar 3 monedas al aire Varianza σ 2 = Σ (x i - µ) 2 · p i = Σ x i 2 p i - µ 2 La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es aquella que hace corresponder a cada valor de la variable su probabilidad: X [0, 1] El recorrido de la función de probabilidad es un subconjunto del intervalo [0, 1] Desviación típica σ = Σ (x i - µ) 2 · p i = Σ x i 2 p i - µ 2

3 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar DISTRIBUCIÓN BINOMIAL La variable aleatoria que expresa el número de éxitos obtenidos en cada realización del experimento recibe el nombre de variable de la distribución binomial B(n, p), donde: n es el número de pruebas que se realiza el experimento p es la probabilidad de éxito en la realización del experimento Media µ = np Varianza σ 2 = npq La distribución binomial corresponde a la realización experimentos que cumplen: únicamente se observa si se cumple un suceso A la probabilidad de dicho suceso es constante Desviación típica σ = npq Si n = 1, la distribución binomial B(1, p) se denomina variable aleatoria de Bernoulli y además: Media µ = pVarianza σ 2 = pqDesviación típica σ = pq Si realizamos un experimento n veces, decimos que p( X = k) es la probabilidad de obtener k éxitos y n – k fracasos. Si la probabilidad de éxito es p y la probabilidad de fracaso es q = 1 – p, p(X = k) viene dada por el número de permutaciones con repetición de n elementos entre los que hay k y n – k repetidos. La función de probabilidad de B(n, p) es: n p(k éxitos) = p( X = k) = k p k q n-k ( )

4 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA (I) Una variable aleatoria continua puede tomar infinitos valores. La función de probabilidad en variables continuas no tiene sentido. Definimos la función de densidad f(x) que cumple: f(x) ≥ 0 en todo su dominio el área encerrada bajo la curva f(x) es igual a 1 Ejemplo: en una clínica de maternidad se estudian los pesos de los bebés recién nacidos. Representamos los datos de la tabla en un histograma. En este histograma se han modificado las escalas horizontal y vertical para que la suma de las áreas de las barras sea 1. Este histograma así obtenido se denomina histograma de densidad. Si reducimos los intervalos de clase de tal manera que su longitud se aproxime a 0, la línea poligonal se va suavizando y, en el límite, se convierte en la curva llamada función de densidad f(x)

5 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA (II) Dada la función de densidad f(x), la probabilidad de que la variable tome valores comprendidos entre x 1 y x 2,p(x 1 ≤ X ≤ x 2 ), equivale al área encerrada entre el eje de abscisas, la función de densidad y las rectas x = x 1 y x = x 2 Dada la función de densidad f(x), la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que x 1, p( X ≤ x 1 ), equivale al área que encierre la curva desde -∞ hasta x 1

6 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar DISTRIBUCIÓN NORMAL Propiedades de la campana de Gauss Su dominio es (-∞, +∞) Es simétrica respecto de la recta x = µ El eje de abscisas es una asíntota horizontal Tiene un máximo en x = µ Por ser una función de densidad, el área encerrada entre la curva y el eje de abscisas vale 1 Teorema central del límite Alexander Liapounov afirmó que aunque en un fenómeno intervengan diferentes causas que no presenten una a una distribución normal, su presencia simultánea hace que la distribución tienda a ser normal. La distribución normal debe su nombre porque se creyó que todas las distribuciones seguían este modelo. En la vida real, muchos fenómenos se ajustan a esta ley, como: Las alturas de los habitantes de un país Las notas de matemáticas en las pruebas de acceso a la universidad Distribución normal estándar o tipificada N(0, 1) Una variable aleatoria continua con distribución normal N(µ, σ) tiene como media µ y desviación típica σ. La función de densidad de N(µ, σ), tiene por expresión: Esta curva se denomina campana de Gauss o gaussiana f(x) = 1 2¹ e - 1 2 ( x - µ ) 2 σ σ