Unidad V: Estimación de

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1 Unidad V: Estimación de
Parámetros

2 Propósito de la Inferencia de estadística
Estimación de parámetros Pruebas de Hipótesis Puntual Intervalar Nivel de Confianza Métodos de Estimación Momentos Máximo Verosímil Propiedades Método del Pivote

3 Pruebas de Hipótesis Concepto Tipos de errores Hipótesis Nula Hipótesis alternativa Unilateral Bilateral Nivel de Confianza Valor-p Región Crítica Decisión

4 5.1 Propósito de la Inferencia de estadística
Cuando se habla de obtener conclusiones respecto de una población particular, nos estamos refiriendo a algunas características distribucionales de la población, específicamente a parámetros que caracterizan la distribución poblacional. Esto significa que la inferencia en cuestión será relativa a un conjunto de parámetros poblacionales. Una muestra aleatoria de tamaño n, es cuando se tienen X1, X2,…,Xn variables aleatorias independientes, donde cada una de las Xi tiene la misma distribución de probabilidades. Si X1, X2,…, Xn es una muestra aleatoria de una variable aleatoria X, entonces se acostumbra a llamar a X variable aleatoria poblacional o sencillamente población.

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6 El propósito en la inferencia, es utilizar los elementos de la muestra para determinar todos los aspectos desconocidos de nuestro interés, en la mejor forma posible, al considerar la distribución de probabilidades de la población. Ciertas funciones de los elementos de una muestra aleatoria tales como:

7 Cualquier función de los elementos de una muestra aleatoria que no dependa de algún parámetro desconocido de llama estadístico. Los estadísticos son, por lo tanto, variables aleatorias, cuyos valores observados pueden ser evaluados después que los valores observados para X1, X2,…, Xn son conocidos. Como los estadísticos son variables aleatorias, sus valores variarán de muestra en muestra y tiene sentido determinar la distribución de estas variables aleatorias, las cuales se conocen como distribuciones muestrales.

8 5.2 Métodos de Estimación Los problemas de inferencia estadística se dividen en dos áreas: Estimación de parámetros y Pruebas de Hipótesis. Generalmente en un problema de estimación de parámetros se dispone una muestra aleatoria de una variable poblacional X, cuya distribución de probabilidades se supone conocida, salvo por algunos parámetros que son desconocidos.

9 5.3 Método por momentos Propuesto por Karl Pearson (1894). Sea q(θ), una función que deseamos estimar. El método por momentos consiste en escribir la función de θ, q(θ), como una función continua h de los primeros r momentos poblacionales, esto es, donde k = E(Xk) es el k-ésimo momento poblacional; k = 1,2,…,r y luego considerar como estimador por momentos a

10 Ejemplo Una muestra aleatoria de n observaciones X1,…,Xn se selecciona desde una población con distribución uniforme sobre el intervalo (0, θ), en que θ es desconocido. Deseamos encontrar, mediante el método de los momentos, un estimador de θ. El valor de 1 para una variable aleatoria uniforme es 1 = E(X) = θ/2. es el primer momento muestral. Por tanto, el E. por M de θ es:

11 Ejemplo Supongamos que queremos estimar, por el método de momentos, la varianza, 2, de una población cualquiera X. Sabemos que: Luego, si consideramos una muestra aleatoria X1,…, Xn de esta población, tenemos que el primer estimador por momento de la varianza poblacional 2 es

12 5.4 Método Máximo Verosímil
El método de máxima verosimilitud consiste en obtener, como estimadores, aquellos valores de los parámetros que maximizan la función de verosimilitud.

13 En la mayoría de los casos el estimador máximo verosímil (EMV) de θ, se puede determinar desde
Dado que L(θ) es siempre no negativa y logra su máximo para el mismo valor de θ que ln(L), generalmente resulta más simple obtener el EMV de θ resolviendo:

14 Propiedades importantes de los EMV
La extensión al caso de varios parámetros es natural. Si tenemos m parámetros, la función de verosimilitud es L(θ1,…, θm; x1,…, xn) y los EMV de θj; j = 1,…, m los obtenemos resolviendo el sistema de ecuaciones. Invarianza:

15 Ejemplo Supongamos que x = x1,…, xn corresponden a la realización de n ensayos Bernoulli independientes con probabilidad de éxito θ en cada ensayo, donde xi = 1 si el iésimo ensayo es un éxito y xi = 0 si es un fracaso. Queremos determinar el estimador máximo verosímil de la probabilidad de éxito θ. La función de verosimilitud de la muestra observada es: Notemos que L es igual a cero para θ = 0 y 1, y es continua para valores entre 0 y 1.

16 Entonces: cuya derivada es Luego, el valor de θ que maximiza l(θ; x) es la solución de la ecuación: cuya solución es:

17 Ejemplo Supongamos que X1,…,Xn representan los tiempos de fallas para una cierta pieza de un equipo y que los tiempos de vida son exponenciales e independientes con parámetro  (desconocido). Queremos encontrar el estimador vorsímil para . Sean x = x1,…, xn los valores observados de X1,…, Xn. La función de verosimilitud es entonces:

18 5.5 Distribución de la media muestral
Teorema 5.1 Si X1,X2,…,Xn es una muestra aleatoria de una población X que tiene media  y varianza 2, entonces el PROMEDIO tiene valor esperado  y varianza 2/n , Teorema 5.2 Si X1,X2,…,Xn es una muestra aleatoria de una población normal de parámetros  y 2 , entonces

19 Recordemos que la f.g.m de una distribución normal esta dada por
En efecto:

20 Teorema 5.3 Si X1,X2,…,Xn es una muestra aleatoria de una población infinita que tiene media  y varianza 2, entonces la distribución límite de Zn, donde es la distribución Normal estándar.

21 Ejemplo Una máquina puede ser regulada de modo que descargue un promedio de  kilos por hora ( desconocido). Se ha observado que la cantidad descargada por la máquina se distribuye normal con 2=1.0kg. Se selecciona al azar una muestra de tamaño n = 9 horas de descarga, pesando el total descargado en cada hora seleccionada. Se desea encontrar la probabilidad que la media muestral esté entre +/-0.3 kg. de la verdadera media . Si definimos la variable aleatoria Yi como el peso total descargado en la hora i, entonces Yi se distribuye N(,1), para todo i=1,…,9, por lo tanto, de acuerdo al Teorema 5.2

22 La probabilidad que deseamos determinar es
utilizando las tablas de la distribución normal estándar, obtenemos Así, la probabilidad que la media muestral esté dentro de +/- 0.3 de la media poblacional  es

23 5.6 Distribución de la varianza muestral S2
Teorema 5.4 Si X1,X2,…,Xn es una muestra aleatoria de una distribución con media  y varianza 2, entonces la varianza muestral S2 tiene valor esperado igual a 2. Teorema 5.5 Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria de una población X cuya distribución es normal de media  y varianza 2, entonces:

24 Ejemplo Consideremos nuevamente el Ejemplo anterior y supongamos que extraemos una muestra aleatoria de tamaño n = 10. si estas observaciones son utilizadas para calcular S2, podría ser útil especificar un intervalo de valores que incluya a S2 con alta probabilidad; esto es, encontrar por ejemplo los números b1 y b2 tales que: Para así tener

25 Teorema 5.6 Si X1,X2,…,Xn es una muestra aleatoria de una población normal con media  y varianza 2, entonces Para aclarar confusiones con respecto al uso de la distribución Normal (estándar) y la distribución t-student, en relación a expresiones del tipo

26 o en el caso de la media Si el valor de  es conocido y el tamaño de n es suficientemente grande, entonces Z tendrá distribución normal estándar. Si  es desconocida y la población de donde está muestreando es normal, entonces la distribución de T será la de una t – student con (n-1) grados de libertad.

27 Ejemplo La resistencia a la tracción de un cable se distribuye normalmente con media  y varianza 2 ambas desconocidas. Se seleccionan al azar 6 trozos de alambre y se mide la resistencia Xi de cada uno de ellos. Deseamos encontrar la probabilidad que es equivalente a calcular

28 Donde Esta probabilidad corresponde aproximadamente a