ESTADISTICA I ESTADISTICA I Variables aleatorias

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1 ESTADISTICA I ESTADISTICA I Variables aleatorias
Modulo III : VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Ing. Manuel Campuzano H CORPORACION UNIFICADA DE LA COSTA PROGRAMA DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS SEMESTRE I DE 2012

2 Concepto de Variable aleatoria
ESTADISTICA I CONTROL Y GESTIÓN INTEGRAL DE LA CALIDAD Variables aleatorias Concepto de Variable aleatoria Definición Una Variable aleatoria es una función que asigna un numero real a cada resultado del espacio muestral de un experimento aleatorio. Definición Para un espacio muestral S dado de algún experimento, una Variable aleatoria es cualquier regla que asocia un numero con cada resultado de S

3 ESTADISTICA I Variables aleatorias Variables aleatorias
CONTROL Y GESTIÓN INTEGRAL DE LA CALIDAD Variables aleatorias Variables aleatorias En general, el resultado de cada experimento se puede relacionar con un numero si se especifica una regla de asociación (por ejemplo, el numero dentro de una muestra de 10 componentes que fallaron durante 1000 horas de servicio o el peso total del equipaje para una muestra de 25 pasajeros de una línea aérea ) Se utilizará va en lugar de variable aleatoria, las mayúsculas X o Y Se utilizaran para denotar variables aleatorias. La notación: X(s)=x quiere decir que x es el numero asociado con el resultado s Por la va X.

4 Concepto de Variable aleatoria
ESTADISTICA I CONTROL Y GESTIÓN INTEGRAL DE LA CALIDAD Variables aleatorias Concepto de Variable aleatoria Definición Una Variable aleatoria discreta es una variable aleatoria con un rango finito Definición Una Variable aleatoria continua es una variable aleatoria que tiene Como rango un intervalo de números reales.

5 ESTADISTICA I Variables aleatorias Ejemplos CONTROL Y GESTIÓN
INTEGRAL DE LA CALIDAD Variables aleatorias Ejemplos Ejemplos de variables aleatoria continuas: corriente eléctrica, Longitud, presión, temperatura, tiempo, voltaje, peso. Ejemplos de variables aleatorias discreta: numero de rayaduras en una superficie, proporción de partes defectuosas entre 1000, Numero de bits trasmitidos recibidos con error. Para estudiar propiedades básicas de va discretas, solo se requieren herramientas de matemáticas discretas (sumas, restas). El estudio de va continuas requieren las matemáticas continuas del calculo Integrales y derivadas. Esta es la razón para hacer las distinción Entre los dos tipos de variable.

6 ESTADISTICA I Variables aleatorias CONTROL Y GESTIÓN
INTEGRAL DE LA CALIDAD ESTADISTICA I Variables aleatorias Ejemplos El tiempo hasta que un proyectil regresa a la tierra. El numero de veces que un transistor en una memoria de computadora cambia de estado en una operación. El volumen de gasolina que se pierde por evaporación durante el llenado de un tanque de combustible. El diámetro exterior de una flecha maquinada. El numero de grietas que exceden media pulgada en 10 millas de una carretera interestatal. El peso de una pieza de plástico moldeada por inyección. El numero de moléculas en una muestra de gas La concentración de la salida de un reactor. La corriente en un circuito electronico.

7 ESTADISTICA I Variables aleatorias CONTROL Y GESTIÓN
INTEGRAL DE LA CALIDAD ESTADISTICA I Variables aleatorias Ejemplo 1 Cuando un estudiante intenta utilizar una computadora conectada a un sistema de tiempo compartido, todos los puertos podrían estar ocupados (F), en cuyo caso el estudiante no tendría acceso, o habrá por lo menos un puerto libre (E), en cuyo caso el estudiante tendrá éxito en tener acceso al sistema. S={E,F} Definimos con una va X mediante X(E)=1, X(F)=0 Ejemplo 2 Considere el experimento en el que se marca un numero telefónico de cierta clave de área por medio de un marcador de números aleatorios. Defina una va Y

8 Variables aleatorias discretas
ESTADISTICA I CONTROL Y GESTIÓN INTEGRAL DE LA CALIDAD Variables aleatorias Variables aleatorias discretas Definición Cualquier Variable aleatoria cuyos únicos valores posibles son dos, éxito o fracaso, recibe el nombre de variable aleatoria de Bernoulli.

9 ESTADISTICA I Variables aleatorias CONTROL Y GESTIÓN
INTEGRAL DE LA CALIDAD ESTADISTICA I Variables aleatorias Ejercicio 1 Tres automóviles seleccionan al azar, y cada uno se clasifica como equipado con motor diesel (E) y no equipado con motor diesel. Si X=el numero de automóviles entre los tres con motor diesel, enumere cada resultado en S y su valor X asociado. Ejercicio 2 En un proceso de fabricación de semiconductores, se prueban dos obleas de un lote, cada oblea se clasifica como pasa o falla. Suponga que la probabilidad de que una oblea pase la prueba es de 0,8 y que las obleas son independientes. Defina las probabilidades que cada uno de los posible eventos y la va X

10 ESTADISTICA I Variables aleatorias CONTROL Y GESTIÓN
INTEGRAL DE LA CALIDAD ESTADISTICA I Variables aleatorias Ejercicio 3 Un lote de 500 piezas maquinadas contiene 10 que no cumplen con las especificaciones. Si se seleccionan piezas sucesivamente, sin remplazo, hasta que se obtiene una pieza que no cumple. La va es el numero de piezas seleccionada. Ejercicio 4 La va es el numero de imperfecciones superficiales en una lamina de acero galvanizado. Ejercicio 5 En el pedido de un automóvil puede seleccionarse el modelo básico o agregar cualquier numero de 15 opciones. La va es el numero de opciones seleccionadas en un pedido.

11 ESTADISTICA I Distribución y Función CONTROL Y GESTIÓN
INTEGRAL DE LA CALIDAD Distribución y Función Distribución y función de masa de probabilidad Muchas veces el interés se centra en la probabilidad que una va asuma un valor en particular, la distribución de probabilidad de una va X es una descripción de las probabilidades asociadas con los valores posibles de X Para una variable aleatoria discreta, es común especificar la Distribución con una lista de los valores posibles junto con la probabilidad de cada uno.

12 Distribución y función de masa de probabilidad
ESTADISTICA I CONTROL Y GESTIÓN INTEGRAL DE LA CALIDAD va Discretas Distribución y función de masa de probabilidad Ejemplo 4 Existe la posibilidad de que un bit transmitido através de un canal de transmisión digital se reciba con error. Sea X igual al numero de bits con error en los cuatro siguientes bits transmitidos. Los valores posibles de X son: {0,1,2,3,4}. Con base en un modelo para los errores que se presentan en la siguiente sección, se determinaran las probabilidades de estos valores. Suponga que las probabilidades son: P(X=0)=0.6561 P(X=1)=0.2916 P(X=2)=0.0486 P(X=3)=0.0036 P(X=4)=0.0001

13 Distribución y función de masa de probabilidad
ESTADISTICA I CONTROL Y GESTIÓN INTEGRAL DE LA CALIDAD va Discretas Distribución y función de masa de probabilidad Definición Para una variable aleatoria discreta X con valores posibles x1, x2,..,Xn, La función de masa de probabilidad es: f(xi)=P(X=xi)

14 Distribución y función de masa de probabilidad
ESTADISTICA I CONTROL Y GESTIÓN INTEGRAL DE LA CALIDAD va Discretas Distribución y función de masa de probabilidad Ejemplo 5 Sea que la va X denote el numero de obleas de semiconductores que es necesario analizar a fin de detectar una partícula grande de contaminación. Supóngase que la probabilidad de que una oblea contenga una partícula grande es de 0.01 y que las obleas son independientes. Determine la función de probabilidad de X

15 Distribución y función de masa de probabilidad
ESTADISTICA I CONTROL Y GESTIÓN INTEGRAL DE LA CALIDAD va Discretas Distribución y función de masa de probabilidad Ejercicio 6 Estudios de mercado estiman que un nuevo instrumento para el análisis de muestras de suelo será de gran éxito, con probabilidades 0,3, 0,6 y 0,1, respectivamente. Los ingresos anuales asociados con un producto de gran éxito, con éxito moderado o sin éxito son de 10, 5 y 1 millón, respectivamente. Sea que la va X denote los ingresos anuales del producto. Determinar la función de masa de probabilidad de X

16 ESTADISTICA I va Discretas CONTROL Y GESTIÓN INTEGRAL DE LA CALIDAD
Funciones de distribución acumulada Definición La función de distribución acumulada de una va discreta X denotada como F(x)=P(X<=x)=

17 Media y Varianza de una variable aleatoria discreta
ESTADISTICA I CONTROL Y GESTIÓN INTEGRAL DE LA CALIDAD va Discretas Media y Varianza de una variable aleatoria discreta Definición La media o valor esperado de la va discreta X, denotada como µ o E(X): µ=E(X)= Definición La varianza de X, denotada como σ2 o V(X)

18 GRACIAS ESTADISTICA I Probabilidad CONTROL Y GESTIÓN
INTEGRAL DE LA CALIDAD ESTADISTICA I Probabilidad . GRACIAS