DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Por Jorge Sánchez.

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1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Por Jorge Sánchez

2 Es una función que asocia cada elemento del espacio muestral con un número real. 1-VARIABLE ALEATORIA Ejemplo: Se lanzan dos dados y se asocia la suma de los puntos. ER X 3 7 11 Tipos:  D D iscretas  C C ontinuas

3 2-DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Función de probabilidad: asocia a cada valor de la variable aleatoria su probabilidad. Media: Varianza: Desviación típica: Ejemplo: ¿Cuál es la media y la desviación típica al sumar los puntos en el lanzamiento de dos dados?

4 Ejemplo: ¿Cuál es la media y la desviación típica al sumar los puntos en el lanzamiento de dos dados?

5 Media: Varianza: Desviación típica:

6 3-DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Número de éxitos al realizar un experimento n veces cuya probabilidad de éxito es p. Se expresa B(n,p). Media: Varianza: Desviación típica: Función de probabilidad: P(éxito)=p P(fracaso)=1-p. Si se obtienen k éxitos pueden estar ordenados de formas y las probabilidades se multiplican por ser independientes los sucesos.

7 Ejemplo: Al lanzar un dado 5 veces, ¿cuántas veces sale 6?

8 4-DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA Función de probabilidad: no tiene sentido pues hay infinitos  p(X i )=0. Ejemplo: Función de densidad: f(x) que cumple:  f f (x)  0  E E l área bajo la curva f(x) es 1  p p (x 1  X  x 2 ) es el área bajo la curva y entre las rectas x=x 1 y x=x 2.  p p (X  x 1 ) es el área bajo la curva y a la izquierda de x=x 1. Halla p(1  x  2)

9 5-DISTRIBUCIÓN NORMAL Se expresa N( ,  ). Función de densidad: Distribución normal estándar: N(0,1). Se consulta la tabla.

10 5-DISTRIBUCIÓN NORMAL Se expresa N( ,  ). Función de densidad: Distribución normal estándar: N(0,1). Se consulta la tabla. Tipificación de la variable: Ejemplo: En una distribución normal N(20,4) calcula p(X  15)

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12 5-DISTRIBUCIÓN NORMAL Se expresa N( ,  ). Función de densidad: Distribución normal estándar: N(0,1). Se consulta la tabla. Tipificación de la variable: Ejemplo: En una distribución normal N(20,4) calcula p(X  15)

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14 5-DISTRIBUCIÓN NORMAL Se expresa N( ,  ). Función de densidad: Distribución normal estándar: N(0,1). Se consulta la tabla. Tipificación de la variable: Ejemplo: En una distribución normal N(20,4) calcula p(X  15)

15 6-PROBLEMA 1 (Quincux o tablero de Galton) Se va a la izquierda  X=0 Se va a la derecha  X=1 Halla probabilidad de que caiga en el centro. Centro  2 izda+2dcha (no importa orden).

16 7-PROBLEMA 2 (Notas de examen) En una cierta asignatura la media de las notas es 6,6 y la desviación típica 2,4. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar apruebe?

17 8-APROXIMACIÓN DE BINOMIAL A NORMAL Si tenemos una binomial se aproxima con normal

18 9-INTERVALOS CARACTERÍSTICOS Es un intervalo (-k,k) que encierra un área igual a p. k se llama valor crítico. P=1-  se llama nivel de confianza. Ejemplo: Hallar el intervalo característico para el 90% en una N(50,5) Si X  N( ,  ) el intervalo característico es (  -z  /2 · ,  +z  /2 ·  )

19 10-TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Dada una población de media  y desviación típica , si se extraen muestras de tamaño n, la distribución de las medias de todas las muestras, denominada distribución de las medias muestrales, verifica:  L L a media es .  L L a desviación típica es  S S i n>30 se aproxima a una distribución normal.  E E l intervalo de confianza será

20 11-PROBLEMA 3 Las medidas de los diámetros de una muestra tomada al azar de 200 cojinetes de bolas, fabricados por una determinada máquina, dieron una media de 2 cm. y una desviación típica de 0’1 cm. Hallar el intervalo de confianza del 88%.

21 12-PROBLEMA 4 La duración de las turbinas de una presa sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica de 50 meses. Hallad el tamaño de la muestra para que, con un nivel de confianza del 95% se consiga un error en la estimación inferior a 10 meses. La duración de las turbinas sigue una distribución normal La duración media seguirá una distribución normal seguirá una distribución normal N(0,1) El intervalo de confianza será Solución: 97 turbinas

22 13-CONTRASTE DE HIPÓTESIS  H H 0 : hipótesis nula. Que admitimos como válida.  H H 1 : hipótesis alternativa. Será válida si rechazamos la anterior.  S S e acepta H 0 si la discrepancia entre la hipótesis y la información muestral es menor de  (nivel de significación).  ( ( 1-  )·100 es el nivel de confianza. Región de aceptación Región de rechazo

23 14-PROBLEMA 5  A A l lanzar 200 veces un dado sale el seis 43 veces. ¿Está el dado trucado?  H H 0 : El dado es correcto. Un lanzamiento El intervalo de confianza será 200 lanzamientos HH 1 : El dado está trucado. Nivel de confianza ha de ser mayor del 93’42%