CÁLCULO DE DERIVADAS DÍA 46 * 1º BAD CT

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE FUNCIÓN REGLA DE LA CADENA Ya hemos visto como dadas dos funciones f(x) y g(x) , no es lo mismo y = f(g(x)) que y = g(f(x)) Ambas funciones compuestas son diferentes, y diferentes serán por tanto sus funciones derivadas. Sea y = f(g(x))  y’ = f ’ (g(x)) . g ‘ (x) Sea y = g(f(x))  y’ = g ‘ (f(x)) . f ‘ (x) Ejemplos Sea y = sen7 x  Función polinómica  y ‘ = 7. sen6 x . cos x Sea y = sen x7  Función trigonométrica  y ‘ = cos x7 . 7. x6

DERIVADAS DE F. COMPUESTAS DERIVADA DEL LOGARITMO DE UNA FUNCIÓN Sea y = Ln f(x) y ‘ = f ‘ (x) / f (x) Ejemplos: y = ln ex  y’ = ex / ex = 1 y = ln (x3 – 2x)  y’ = (3.x2 – 2) / (x3 – 2x) y = ln √x  y’ = [1/(2.√x)] / √x = 1 / 2x y = ln (5.x2 – 2.ex)  y’ = (10.x – 2.ex ) / (5.x2 – 2.ex) y = ln sen x + sen ln x  y’ =( cos x / sen x ) + ( cos ln x). 1/x y = cos ln x5  y’ = - sen ln x5 .(5.x4 / x5) = - sen ln x5 .(5 / x)

DERIVADAS DE F. COMPUESTAS DERIVADAS LOGARÍTMICAS Sea y = loga f(x)  y ‘ = f ‘ (x) / f (x). ln a Veamos: ay = f(x)  y.ln a = ln f(x) y= ln f(x) / ln a  y’ = f’(x) / f(x).ln a Ejemplos: y = log (9x2 + 4x)  y’ = (18.x + 4) / [(9x2 + 4x).ln 10] y = log (ex – √x)  y’ = (ex – 1/2√x) / [(ex – √x).ln 10] y = cos log x  y’ = – sen log x . (1 / x.ln 10) y = log3 ex – log5 e – x  y’ = ex / ex ln 3 + e – x / e– x ln 5 = 1/ln3 + 1/ln5 y = tg (log sen x)  y’ = [ 1 / (cos2 (ln sen x) ]. (cos x / sen x. ln10) y = √arc sen log x   y’ = [1/(2√arc sen log x)]. [1/√(1 – (log x)2)].(1/x.ln10

DERIVADAS DE F. COMPUESTAS DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES (I) Sea y = ax y ‘ = ax . Ln a Veamos: ln y = x.ln a  y´/ y = 1.ln a+x.0=ln a y’= y.ln a = ax .ln a Ejemplos: y = 3x  y’ = 3x .ln 3 y = - 5x  y’ = - 5x .ln 5 y = sen 2x  y’ = cos 2x .2x ln 2 y = 7.4x + 4.(√7)x  y’ = 7.4x .ln 4 + 4.(√7)x .ln √7 y = √(6x) – (√6)x  y’ = [1/2√(6x)].6x ln 6 – (√6)x .ln √6 = … = 0

DERIVADAS DE F. COMPUESTAS DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES (2) Sea y = af(x)  y ‘ = af(x) . f ‘ (x). ln a Veamos: ln y = f(x).ln a y’/y = f’(x).ln a + f(x).0  y’ = y.f’(x).ln a Ejemplos: y = e(3x – 2)  y’ = e(3x – 2) .3.ln e = 3. e(3x – 2) y = eln x + 21/x  y’ = eln x .1/x + 21/x .(-1/x2).ln 2 y = e– x – 3√x  y’ = e– x (–1) – 3√x (1/2√x).ln 3 ex – e – x (ex + e – x).(ex + e – x ) – (ex – e – x).(ex – e – x) y = ------------  y’ = ----------------------------------------------------------- = ex + e – x (ex + e – x )2 =[ (ex + e – x)2 – (ex – e – x)2 ] / (ex + e – x)2 = (2.ex).(2.e – x ) = 4 / (ex + e – x)2

DERIVADAS DE F. COMPUESTAS DERIVADA DE FUNCIONES POLINÓMICO-EXPONENCIALES g(x) y = [ f(x) ] Tomando logaritmos: Ln y = g(x). Ln f(x) y derivamos ... y ‘ / y = [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )] y ‘ = y . [ … ] y ‘ = [f(x)] . [ … ]

DERIVADAS DE F. COMPUESTAS Ejemplos: y = x(3x – 2)  ln y = (3x – 2).ln x   y’ / y = [3.lnx + (3x – 2).1/x]  y’ = y.[…] y = (x+1)ln x  ln y = ln x . Ln(x+1)   y’ / y = [(1/x).ln(x+1)+ln x (1/(x+1))]  y’ = y.[…] y = 3x (x2 – 5)  ln y = (x2 – 5)ln (3x)   y’ / y = [2x. Ln 3x + (x2 – 5).(1 / x)]  y’ = y.[…] y = (sen x)√x  ln y = √x.ln sen x   y`/ y = [(1/2√x).ln senx + √x.(cos x / sen x)]  y’ = y.[…] y = (log3 x)1/x  ln y = (1/x).ln(log3 x)  y`/ y = [(- 1/ x2).(ln(log3 x)+ (1/x). ((1/x.ln 3) / log3 x)]  y’ = y.[…] Pues y = log3 x  3 y = x  y.ln 3 = lnx  y = ln x / ln 3  y ‘ = 1 / x.ln 3