INVARIANTES PONENTE: ISRAEL DIAZ ACHA

MARCO TEORICO

El método de INVARIANTES se usa regularmente cuando se describe un objeto matemático y una transformación T que se aplicara en dicho objeto de forma sucesiva. T OBJET0 OBJETO TRANSFORMADO X T(X)

El problema relacionado a invariantes consiste en: Demostrar que NO ES POSIBLE que el objeto en un estado inicial determinado pueda llegar a un estado final también determinado mediante alguna secuencia de dichas transformaciones.

T T T ESTADO INICIAL ESTADO FINAL B A X1 X2

Una invariante es una función:  (X) que se aplica a un estado X del objeto ; y debe cumplir lo siguiente : I(X)=I(T(X))

Evaluando en el diagrama de bloques T T T ESTADO INICIAL ESTADO FINAL B A X1 X2  (A) =  (X1) =  (X2) = ... =  (B)

Si tenemos que  (A) ≠  (B) entonces dicho proceso no se podría concretar y ya estaría PROBADA LA IMPOSIBILIDAD .

EJEMPLOS

Ejemplo 1 : La suma de números pares es siempre un numero par . Por consiguiente : Si a un numero impar le sumamos números pares el resultado es un numero impar . Si a un numero par le sumamos números pares el resultado es un numero par . esta invariante se le llama INVARIANTE DE PARIDAD.

Ejemplo 2 : Si a un numero natural N de dos o tres cifras se le resta la suma de sus cifras el resultado es siempre un múltiplo de 9 . Demostracion : Para dos cifras :

Para tres cifras : A esta invariante se le llama INVARIANTE DE LA SUMA DE CIFRAS EN MODULO 9 .

PROBLEMAS

PROBLEMA 1 En una tabla de 2 x 2 se escribe los números 1,2,3,4 en sentido horario . Una operación permitida es elegir dos casillas adyacentes y sumarles a las dos una misma cantidad entera positiva. Decidir si mediante alguna secuencia de operaciones es posible llegar a que todos los números escritos en las casillas sean 10,11,13,15 en algún orden .

SOLUCION T La respuesta es no: vamos a representar gráficamente una operación : T a b d c a+x b+x d c

Observemos que : La suma inicial es : a+b+c+d Y la suma final es : a+x+b+x+c+d = (a+b+c+d)+2x En este caso la invariante a considerar es que la suma aumenta siempre en un numero par . Como el aumento es siempre un numero par entonces el aumento total deberá ser una suma de números pares la cual también deberá ser par .

En el ejercicio : inicialmente la suma es : 1+2+3+4=10 y finalmente es : 10+11+13+15=49 . Luego deberá cumplirse que : 49-10=39 debe ser un numero par . Lo cual es falso . Por consiguiente NO ES POSIBLE .

PROBLEMA 2 Se escriben los números del 1 al 9 en ese mismo orden separados por sumas: 1+2+3+4+5+6+7+8+9 Una operación consiste en suprimir algunos signos (+) de manera que se obtengan como sumandos números de 1, 2 ó 3 digitos . Por ejemplo : 1+23+456+78+9 = 567 . ¿Es posible obtener el numero obtenido 345 como resultado de alguna operación ?

SOLUCIÓN : La respuesta es NO : Sea S el valor de la suma de los sumandos luego de una operación . Sea T el valor de la suma inicial : T=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 Observamos que el valor de S-T esta dado por números de dos o tres cifras restados de su suma de cifras .

Por ejemplo : S= 12+345+6+78+9 T= 1+2+3+4+5+6+7+8+9 El valor de S-T = (12-1-2)+(345-3-4-5)+(6-6)+(78-7-8) +(9-9) . = (12-1-2)+(345-3-4-5)+(78-7-8) Lo cual es una suma de múltiplos de 9 .

Entonces la Invariante del problema es : S-T es un múltiplo de 9 . En el problema se quiere que S=345 pero evaluando en la invariante : 345-45=300 no es un múltiplo de 9 . Por tanto es imposible que S sea 345 .

PROBLEMA 3 En cada escalón de una escalera de diez peldaños hay una rana Cada una de ellas puede de un salto , colocarse en otro escalón , pero cuando lo hace , al mismo tiempo , otra rana saltará la misma cantidad de escalones en sentido opuesto : una sube y otra baja . ¿Conseguirán las ranas colocarse todas juntas en un mismo escalón ?

SOLUCION La respuesta es NO : Observemos que la transformación se puede representar como dos ranas tales que una de ellas sube “ n ” peldaños y la otra baja “ n ” peldaños . Y esta transformación se puede representar gráficamente así :

Peldaño a Peldaño b+n Peldaño a-n Peldaño b “ n ” peldaños

Observamos que si la primera rana esta en el peldaño “a” y la segunda rana esta en el peldaño “b” después de la transformación la primera rana esta en el peldaño “a-n” y la segunda rana en el peldaño “b+n” . Luego para este transformación observamos la siguiente Invariante : La suma de los números en los peldaños de estas dos ranas al inicio es : a+b Y la suma de los números en los peldaños de estas mismas ranas al final es : (a-n) + (b+n) = a + b .

Por consiguiente la suma de los números de los peldaños en los que están dos ranas no varia luego de una transformación . Pero en la transformación se toman en cuenta en si a 10 ranas en las cuales 8 ranas permanecen en sus peldaños y las otras dos cambian de peldaño entonces concluimos que la suma total de los peldaños en los cuales están las 10 ranas permanece constante . Suponiendo que las 10 ranas se puedan ubicar todas en un solo peldaño Aplicaremos al invariante al estado inicial es : I(Inicio)=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

Y en el estado final las 10 ranas estarán en el peldaño “ p “ . I(fin) = 10 p Luego igualando : I(inicio)=I(fin) 55 = 10p p = 5,5 pero el “p” calculado no es un número entero por tanto no puede ser el número un peldaño . Entonces las 10 ranas no podrán estar en un solo peldaño .

PROBLEMA 4 En los 5 vértices de un pentágono regular se escriben 5 números enteros de manera que en cada uno de los 5 lados y las 5 diagonales , se escribe un numero igual a la diferencia de los números escritos en los vértices que une dicho lado o diagonal . ¿Sera posible escribir los números en los 5 vértices de manera que los números escritos en los 5 lados y 5 diagonales sean los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ?

SOLUCIÓN : La respuesta es NO : Representaremos al pentágono regular , sus cinco vértices , sus 5 lados y sus 5 diagonales .

Llamaremos A;B;C;D;E los cuatro números que se escribirán en los vértices . Si suponemos que ya están ordenados es decir : A>B>C>D>E ; entonces los números que irán escritos en los lados y diagonales son : A-B , A-C , A-D , A-E B-C , B-D , B-E C-D , C-E D-E. Luego como en los lados y diagonales deben ir escritos los números 1,2,3,4,5,6 ,7,8,9,10 en algún orden .

Procederemos a igualar la suma de los números escritos en los lados y diagonales : ( A-B) + ( A-C) + ( A-D) + ( A-E) + ( B-C) + ( B-D) +( B-E) + ( C-D) + ( C-E) + ( D-E) = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55

El termino de la izquierda queda simplificado por : 4A+2B-2D-4E = 2 ( 2A+B-D-2E )=55 luego el termino de la izquierda PAR y el termino de la derecha es IMPAR . Luego no satisface la INVARIANTE DE PARIDAD. Se concluye que NO ES POSIBLE ubicar los 5 números en los vértices del pentágono regular .

Gracias por su Asistencia