Operaciones sobre Funciones

Operaciones Aritméticas Dado dos funciones f y g , podemos combinarlos mediante operaciones comunes de aritmética como se ilustra:

Operaciones (cont.) Notas: El dominio de f + g , etc. es la intersección, I, de los dominios de f y g … eso es, los numeros que son comunes a ambos dominios. En adición, el dominio de 𝑓 𝑔 es un subconjunto de I que consiste de todos los valores de x en I tal que g(x) ≠ 0 .

Ejemplo Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥−2 y g x = 3 𝑥 . Hallar 𝑓+𝑔 𝑥 , 𝑓−𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦 𝑓 𝑔 4 . Describe el dominio de cada función. El dominio de f es . El dominio de g es −∞,2 ∪ 2,∞ −∞,0 ∪ 0,∞ Dom de g Dom de f La intersección de estos conjuntos es: −∞,0 ∪ 0,2 ∪ 2,∞

Ejemplo 𝑥 𝑥−2 + 3 𝑥 = 𝑥 2 +3𝑥−6 𝑥(𝑥−2) 𝑥 𝑥−2 − 3 𝑥 = 𝑥 2 −3𝑥+6 𝑥(𝑥−2) Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥−2 y g x = 3 𝑥 . Hallar 𝑓+𝑔 𝑥 , 𝑓−𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦 𝑓 𝑔 4 . Describe el dominio de cada función. 𝑓+𝑔 𝑥 = , dominio es 𝑓−𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥−2 + 3 𝑥 = 𝑥 2 +3𝑥−6 𝑥(𝑥−2) −∞,0 ∪ 0,2 ∪ 2,∞ 𝑥 𝑥−2 − 3 𝑥 = 𝑥 2 −3𝑥+6 𝑥(𝑥−2) −∞,0 ∪ 0,2 ∪ 2,∞

Ejemplo (cont.) 𝑓 𝑔 4 = 𝑥 𝑥−2 3 𝑥 = 3 𝑥−2 𝑓𝑔 𝑥 = Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥−2 y g x = 3 𝑥 . Hallar 𝑓+𝑔 𝑥 , 𝑓−𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦 𝑓 𝑔 4 . Describe el dominio de cada función. 𝑓𝑔 𝑥 = dominio es 𝑓 𝑔 4 = 𝑥 𝑥−2 3 𝑥 = 3 𝑥−2 −∞,0 ∪ 0,2 ∪ 2,∞ 4 4−2 ÷ 3 4 𝑓(4) 𝑔(4) = 𝑓 4 ÷𝑔 4 = =2÷ 3 4 = 8 3

Definición Se pueden combinar funciones para formar lo que se conoce como la composición de funciones. La función compuesta, f ◦ g , (f compuesta con g), se define (f ◦ g)(x) = f(g(x)) e implica evaluar f en g.

Funciones Compuestas El dominio de f ◦ g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que g(x) está en el dominio de f . Se puede nombrar una composición (g ◦ f)(x) ó g(f(x)) (se lee “g con f”)

Funciones Compuestas (cont.) Se ilustra f ◦ g con el diagrama:

Ejemplo Si f(x) = x2 – 16 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 entonces =𝑥−16 𝑓 𝑜 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 −16 para cada número real x ≥ 0 , mientras que para cada valor real, x ∈ 4, ∞ 𝑓 𝑜 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 −16 =𝑥−16 𝑔 𝑜 𝑓 𝑥 = x2 – 16

Ejemplo Si f(x) = 3x2 + 6 y 𝒈 𝒙 =𝒙−𝟖 determinar f(g(x)) g(f(x)) = 3(x – 8)2 + 6 = 3(x2 -16x + 64) + 6 = 3x2 – 48x + 192 + 6 = 3x2 – 48x + 198 = (3x2 + 6 )−𝟖 = 3x2 – 2

Ejemplo – continuación Si f(x) = 3x2 + 6 y 𝒈 𝒙 =𝒙−𝟖 determinar f(f(x)) g(g(-3)) = 3(3x2 + 6 )2 + 6 = 3(9x4 + 36x2 + 36) + 6 = 27x4 – 108x2 + 108 + 6 = 27x4 – 108x2 + 114 g(-3) = (-3 −𝟖) = - 11 g(g(x)) = (x − 𝟖)−𝟖 = x – 16 g(g(-3)) = -3 – 16 = -19 ó g(-11) = (-11 −𝟖) = - 19

Ejemplo Si f(x) = x2 – 5x + 3 y 𝒈 𝒙 = 𝒙 𝟐 determinar f(g(x)) g(f(x)) = = x4 - 10x3 + 31x2 - 30x + 9 = (x2 )2 – 5(x2) + 3 = x4 – 5x2 +3 (x2 – 5x + 3)2 f(f(-1)) = f(-1)= (-1)2 – 5(-1) + 3 = 10 f(f(-1)) = f(10)= (10)2 – 5(10) + 3 = 53

Ejemplo Se muestran valores de dos funciones f y g en la siguientes tablas. Hallar y

Ejemplo Se muestran las gráficas de dos funciones f y g. Determinar, si es posible, cada uno de los siguientes valores. 𝑔𝑜𝑓(-2) = g(f(-2)) Vemos que f(-2) = 2. Ahora, buscamos g(2) = 1 b) 𝑔𝑜𝑓(0) = g(f(0)) Vemos que f(0) = 0. Ahora, buscamos g(0) = 3 c) 𝑓𝑜𝑔(2) = f(g(2)) Vemos que g(2) = 1. Ahora, buscamos f(1) = ½ d) 𝑓𝑜𝑔(-5) = f(g(-5)) Vemos que g(-5) = 8. Ahora, buscamos f(8) = no está definido en la gráfica

Descomponer funciones Algunas veces se quiere “descomponer” una función compuesta. Esto es, dada una función compuesta y = h(x) , queremos encontrar dos funciones, f y g tal que h(x) = f(g(x)) La descomposición de funciones no es única.

Descomponer funciones 1) 𝒉 𝒙 = 𝒙 𝟑 −𝟓𝒙+𝟏 𝟒 f(x) = x4 2) 𝒉 𝒙 = 𝟑𝒙+𝟐 f(x)= 𝑥 3) 𝒉 𝒙 = 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏 g(x) = 𝑥 3 −5𝑥+1 h(x) = f(g(x)) g(x) = 3𝑥+2 h(x) = f(g(x)) g(x) = 𝑥+ 2 3 f(x)= 3𝑥 f(x) = 𝑥 𝑥+1 g(x) = 𝑥 2 h(x) = f(g(x)) g(x) = 𝑥 2 +1 𝑥 2 f(x) = 1 𝑥

Operaciones con Funciones Ejemplos adicionales

Ejemplo ℝ Sea 𝑓 𝑥 = 4− 𝑥 2 y g x =3x+1. Hallar 𝑓+𝑔 𝑥 , 𝑓−𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦 𝑓 𝑔 𝑥 . Describe el dominio de cada función. ℝ El dominio de g es . El dominio de f es: El conjunto de valores de x, tal que la expresión en el radicando produce un valor positivo o cero. 4 − 𝑥 2 ≥0 𝑥∈ −2,2

Ejemplo Sea 𝑓 𝑥 = 4− 𝑥 2 y g x =3x+1. Hallar 𝑓+𝑔 𝑥 , 𝑓−𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦 𝑓 𝑔 𝑥 . Describe el dominio de cada función. 𝑓+𝑔 x = dominio de 𝑓+𝑔 x es 𝑓−𝑔 𝑥 = dominio de 𝑓−𝑔 𝑥 es 4− x 2 + 3x+1, −∞,∞ ∩[−2,2] = −2,2 4− 𝑥 2 - (3x+1) = 4− 𝑥 2 - 3x − 1 −∞,∞ ∩[−2,2] = −2,2

Ejemplo 𝑓 𝑔 𝑥 = 4− 𝑥 2 3𝑥+1 , Sea 𝑓 𝑥 = 4− 𝑥 2 y g x =3x+1. Hallar 𝑓+𝑔 𝑥 , 𝑓−𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦 𝑓 𝑔 𝑥 . Describe el dominio de cada función. 𝑓𝑔 𝑥 = dominio de 𝑓𝑔 𝑥 es 𝑓 𝑔 𝑥 = dominio de 𝑓 𝑔 𝑥 excluye de [-2,2] los valores que hacen el denominador igual a cero. dominio de 𝑓 𝑔 𝑥 : ( 4− 𝑥 2 )(3x+1), −2,2 4− 𝑥 2 3𝑥+1 , 𝑥=− 1 3 3x + 1 = 0, cuando [-2, 1 3 )∪(− 1 3 ,2]

Ejemplo Complete la tabla.

Ejemplo Complete la tabla.