MATEMÁTICA Propiedad Intelectual Cpech Clase Funciones: conceptos generales PPTC3M037M311-A16V1.

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1 MATEMÁTICA Propiedad Intelectual Cpech Clase Funciones: conceptos generales PPTC3M037M311-A16V1

2 8. Evaluar funciones compuestas.. 1.Comprender la definición de función. 3.Interpretar la representación de una función en el plano cartesiano. 7. Determinar dominio y recorrido de funciones compuestas. 2. Comprender la noción de imagen, pre-imagen, dominio y recorrido. 4. Evaluar una función ¿Qué Aprenderemos hoy? 6. Comprender el concepto de composición de funciones. 5.Determinar dominio y recorrido de una función, analítica y gráficamente

3 Resumen clase anterior Recordemos la clase anterior… -En qué consiste el método de reducción. -¿Cuántas soluciones tiene un sistema en el cual se obtiene una identidad? ¿Por qué ocurre? -¿Cuál es el objetivo de los ejercicios de tipo suficiencia de datos?

4 Funciones: conceptos generales 1.Definición de función ¿Cómo se relacionan los conceptos destacados en la definición con los del ejemplo? Javiera estudia para una prueba de funciones y para ello encuentra la siguiente definición: Regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento dentro de otro conjunto B. Función Paulina, amiga de Javiera, le ayuda a entender la definición: Paulina: “Cuando tu papá llena el estanque de su auto con bencina, el precio que le cobran está en función de los litros que cargó”.

5 Funciones: conceptos generales 1.Definición de función ¿Cuál es la relación de dependencia entre las variables? Javiera logra establecer la relación y afirma “Entonces, lo que tendría que pagar por la bencina depende de los litros que cargué” Litros de Bencina Total a pagar Conjunto de partida Conjunto de llegada. Función

6 Funciones: conceptos generales Paulina y Javiera analizan el consumo de electricidad que cada una tuvo en sus respectivos hogares. Paulina: “Cada kilowatt hora (kWh) de electricidad cuesta $ 90. Además, cobran un cargo fijo de $ 600”. Javiera: “La boleta dice que consumimos 120 kWh. Entonces lo que tendremos que cancelar está en función de lo que consumimos”. Paulina: “Así es, y viene dado por la función f(x) = 90x + 600”. ¿Cuáles son las variables?¿Cuál es la dependencia entre ellas? ¿Cuánto deberán pagar en la casa de Javiera? Si consumo 120 kWh, ¿es posible que el cobro sea distinto a otra casa que consume exactamente lo mismo? 1.Definición de función

7 Funciones: conceptos generales Cada valor de x tiene un único valor de f(x). El reemplazar el valor de x por otro se denomina evaluación. Un valor de x se llama preimagen, y el valor de f(x) se denomina imagen. El conjunto de todas las preimágenes se llama dominio y el conjunto de todas las imágenes se llama recorrido. En este caso. ¿cuál es la preimagen y cuál es la imagen? ¿Cuál es el dominio del consumo? ¿Y su recorrido? Analizando con mayor detalle la función 1.Definición de función

8 Funciones: conceptos generales En base a lo anterior, Paulina y Javiera concluyen: Paulina: “Lo mínimo que puedo consumir es cero kWh” Javiera: “Así es, y si no hay consumo, entonces tampoco te cobrarán” Paulina: “No, Javi, si igual me van a cobrar” Luego de entender, las amigas siguen conversando: Javiera: “Ya, está claro que el consumo mínimo es cero, pero ¿cuál será el consumo máximo? Paulina: “Lo que uno desee, pero dudo que alguien consuma tanta electricidad ¿A qué concepto hace referencia el consumo?¿Cuál es el intervalo de consumo? ¿Por qué esto es correcto?¿A qué concepto hace referencia el cobro? 1.Definición de función

9 Si f(x) = 3 · 2 1 – x, entonces f(– 1) es A)12 B) 0 C) 1 D) 3 E)36 Fuente: Modelo de Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2016 ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: Comprender A ¡AHORA TÚ! Ejercicios 1 y 5 de tu guía. 1.1 Ejercicio PSU Este es un ejercicio de evaluación. ¿Qué se debe hacer con la cantidad entreparéntesis? En este caso, ¿cuál es la preimagen y su imagen? ¿Hay algún valor que x no pueda tomar?¿Cuál es el dominio? ¿Hay algún valor que f(x) no pueda tomar?¿Cuál es el recorrido? Funciones: conceptos generales

10 2. Restricciones del dominio En ocasiones, el dominio de una función se encuentra restringido, lo que implica que existe(n) preimagen(es) que no son admitidas dentro de la función. Fraccionaria ¿cuál es el valor de f(4)? Raíz Cuadrada ¿cuál es el valor de f(6)? ¿Qué ocurre si el denominador es cero? ¿Cómo se restringe el dominio de f? ¿Qué ocurre si la cantidad subradical es negativa? ¿Cómo se restringe el dominio de g? ¡AHORA TÚ! Ejercicios 8 y 12 de tu guía.

11 Funciones: conceptos generales 3. Composición de Funciones Componer funciones implica evaluar una función dentro de otra. Supongamos que las tarjetas representan funciones. f(g(x)) implica que la función g se reemplaza en “x” de la función f, ¿cuál es la función f(g(x))? Multiplicar por 3, luego, sumar 5. 1 Elevar al cuadrado, luego restar 2. 2 f(x) = 3x + 5 g(x) = x 2 – 2 ¿Cuáles son las funciones asociadas a cada tarjeta? f(g(x)) = 3x 2 – 1 Si 2 pasa por f y ese resultado, pasa por g, ¿cuál es el valor resultante?

12 Sean f y g funciones, tales que, g(x) = 1, para x ≥ 2; g(x) = – 1, para x < 2 y f(x) =, para x ≥ 0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)f(g(x)) solo está definida para x ≥ 2. II)g(f(x)) está definida para todos los números reales. III)f(g(4)) = g(f(4)) A)Solo I B)Solo II C)Solo III D)Solo I y III E)I, II y III Fuente: Modelo de Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2015 ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: ASE D ¡AHORA TÚ! Ejercicios 16 y 18 de tu guía. 3.1 Ejercicio PSU ¿Cómo se relacionan los dominios en funciones compuestas? ¿Se puede establecer esta igualdad para cualquier composición? Funciones: conceptos generales

13 Sea p un número real distinto de cero y f la función definida por f(x) = px, con dominio los números reales. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa, con respecto a f, para algún valor de p? A)La imagen de la suma de dos números reales es la suma de sus imágenes. B)La preimagen de un número entero es un número entero. C)La preimagen del cero es el cero. D)La imagen del doble de un número es el doble de la imagen del número. E)La imagen de p es un número real no negativo. ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: Comprensión B ¿El dominio de f son todos los reales?¿Por qué? ¿Qué significa este concepto? Fuente: Modelo de Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2015 ¿Cómo se denomina a todas las imágenes de una función? Síntesis de la clase

14 ÍtemAlternativaUnidad temáticaHabilidad 1DTeoría de funcionesAplicación 2CTeoría de funcionesAplicación 3ATeoría de funcionesASE 4CTeoría de funcionesAplicación 5BTeoría de funcionesAplicación 6CTeoría de funcionesComprensión 7ATeoría de funcionesASE 8ETeoría de funcionesASE 9DTeoría de funcionesASE 10DTeoría de funcionesASE Tabla de corrección

15 ÍtemAlternativaUnidad temáticaHabilidad 11BTeoría de funcionesASE 12DTeoría de funcionesASE 13ETeoría de funcionesComprensión 14ATeoría de funcionesASE 15ETeoría de funcionesComprensión 16CTeoría de funcionesAplicación 17DTeoría de funcionesASE 18ATeoría de funcionesComprensión 19DTeoría de funcionesASE 20BTeoría de funcionesASE Tabla de corrección

16 Propiedad Intelectual Cpech ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL. Equipo Editorial:Área Matemática

17 Cuenta regresiva Volver a: 1.Definición de funciónDefinición de función 2.Restricciones del dominioRestricciones del dominio 3.Composición de funcionesComposición de funciones 4.Síntesis de la claseSíntesis de la clase 5.Tabla de correcciónTabla de corrección